ヴェイユ予想のソースを表示

{{otheruses}}
'''ヴェイユ予想'''（ヴェイユよそう、{{lang-en-short|Weil conjectures}}）とは、[[数学者]]の[[アンドレ・ヴェイユ]]が1949年に発表した<ref>{{Citation | last1=Weil | first1=André | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | url=http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  | mr=0029393 | year=1949 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil {{ISBN2|0-387-90330-5}}</ref>、非特異代数多様体上の[[合同ゼータ関数]]における[[リーマン予想]]の類似である（下の(3)がリーマン予想の類似）。[[アレクサンドル・グロタンディーク]]を経て[[ピエール・ルネ・ドリーニュ]]により1974年に解決された。

==ヴェイユ予想==
(1)
有理数多項式:<math>
P_0(t)P_1(t),...,P_{2n}(t)</math>が存在して

:<math>
\zeta(X, t) 
= {P_1(t)P_3(t)...P_{2n-1}(t)\over P_0(t)P_2(t)...P_{2n}(t)}</math>

そして<math>P_i(t)</math>の次数はi次元[[ベッチ数]]<math>b_i</math>に等しい。


(2)
:<math>
\zeta(X, {1\over q^nt}) = \pm (qt^2)^{{\chi \over 2}(X)} \zeta(X, t)
</math>
ここで<math>\chi =b_0-b_1+b_2-b_3+...+b_{2n}</math>


(3)
:<math>P_i(t)= \prod^{b_i}_{j=1}(1- {\alpha}_{ij}t)</math>
と因数分解したとき
:<math>|{\alpha}_{ij}| = q^{i \over 2}</math>

が成立する。

(1)は{{仮リンク|バーナード・ドゥワーク|en|Bernard Dwork}}によって<ref>{{Citation | last1=Dwork | first1=Bernard | title=On the rationality of the zeta function of an algebraic variety | jstor=2372974 | mr=0140494 | year=1960 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=82 | pages=631–648 | doi=10.2307/2372974 | issue=3 | publisher=American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3}}</ref>、(2)は[[グロタンディーク]]によって<ref>{{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | title=Séminaire Bourbaki | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | mr=1608788 | year=1995 | volume=9 | chapter=Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L | pages=41–55|origyear=1965 |ref= {{harvid|Grothendieck|1965}} }}</ref>、(3)は[[ドリーニュ]]によって<ref>{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=43 | pages=273–307}}</ref>証明された。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[エタール・コホモロジー]]
*[[ラマヌジャン予想]]

{{Numtheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:うえいゆよそう}}
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[[Category:数論]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:有限体]]