一意分解環のソースを表示

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{{参照方法|date=2018-07}}
[[数学]]における'''一意分解環'''（いちいぶんかいかん、{{lang-en-short|''unique factorization domain'', '''UFD'''}}; '''一意分解整域'''）あるいは'''素元分解環'''（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば[[整数]]に対する[[算術の基本定理]]の如くに（特別の例外を除く）各元が[[素元]]（あるいは[[既約元]]）の積に一意に表せる[[可換環]]のことである。[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]の語法に従ってしばしば'''分解環''' {{lang|fr|(''anneau factriel'')}} とも呼ばれる。

環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。
{{可換環のクラス}}
一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる<ref>[https://www.ams.org/journals/tran/1963-109-02/S0002-9947-1963-0155851-X/S0002-9947-1963-0155851-X.pdf P. M. Cohn, ''Noncommutative Unique Factorization Domains''.]</ref>{{efn|group=注|例えば{{仮リンク|フルヴィッツ整数|en|hurwitz quaternion}}全体の環が非可換なUFDの例である<ref>{{Cite web |first=Daniel |last=Smertnig |title=Factorizations of Elements in Noncommutative Rings: A survey |url=https://arxiv.org/pdf/1507.07487.pdf |format=PDF |accessdate=2018-07-24}}</ref>。}}。

== 定義 ==
厳密には、整域 {{mvar|R}} の[[零元]]でも[[単元 (代数学)|単元]]でもない元 {{mvar|x}} が何れも 
: {{math2|''x'' {{=}} ''p''{{sub|1}} ''p''{{sub|2}} … ''p{{sub|n}}''}}
のように {{mvar|R}} の有限個の[[既約元]]の積として書くことができて、その表示が一意であるとき {{mvar|R}} は'''一意分解環'''であるという。ここで表示が一意であるとは、{{mvar|x}} が {{mvar|R}} の既約元 {{math2|''q''{{sub|1}}, …, ''q{{sub|m}}''}} によって再び 
: {{math2|''x'' {{=}} ''q''{{sub|1}} ''q''{{sub|2}} … ''q{{sub|m}}''}},
のようにも表せたとするならば、{{math2|''m'' {{=}} ''n''}} であって、番号の適当な並べ替えを行う[[全単射]] {{math2|''φ'': {1, …, ''n''} → {1, …, ''m''}}} を与えると、{{mvar|p{{sub|i}}}} と {{math2|''q''{{sub|''φ''(''i'')}}}} とが {{math2|''i'' {{=}} 1, …, ''n''}} のそれぞれについて'''[[整域#可除性、素元と既約元|同伴]]''' {{lang|en|(associated)}} となるようにできるということを意味する。

一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である：整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が {{mvar|R}} の[[素元]]の積の形に書けるときである。<!--

非可換な場合には…… -->

== 一意分解環の例 ==
初等的な数学で目にする環の多くが UFD である：
* [[主イデアル整域|単項イデアル整域]] (PID), したがって任意の[[ユークリッド環]]は UFD である。特に、有理[[整数]]環 {{mathbf|Z}}（[[算術の基本定理]]を参照）、[[ガウス整数]]環 {{math|'''Z'''[''i'']}} や[[アイゼンシュタイン整数]]環 {{math|'''Z'''[ω]}} もこの仲間である。
* [[可換体|体]]は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。[[有理数]]体、[[実数]]体、[[複素数]]体などがこの範疇に含まれる。
* {{mvar|R}} が一意分解環なら、{{mvar|R}} に係数を持つ多項式環 {{math|''R''[''x'']}} もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 {{mvar|K}} である場合の多項式環 {{math|''K''[''x'']}} も（{{math|''K''[''x'']}} は単項イデアル整域 (PID) となるので最初の例の特別の場合でもあるが）もちろん UFD になる。

もう少し一般に、以下のような例を与えることができる：
* [[形式的冪級数]]環 {{math2|''K''[[''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}'']]}} は、{{mvar|K}} が体（あるいはもっと一般に主イデアル整域）ならば UFD である（{{mvar|K}} が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意）。
* 決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。
* 一変数多項式環の場合から[[数学的帰納法|帰納的]]に、有理整数環 {{mathbf|Z}}【あるいは、体 {{mvar|K}}】 上の多変数多項式環 {{math2|'''Z'''[''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}'']}}【あるいは {{math2|''K''[''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}'']}} 】は UFD となることが分かる。多変数の多項式環は PID ではない UFD の簡単な例である。

== 分解が一意とならない例 ==
* {{math2|''a'', ''b''}} を整数として <math style="vertical-align:-12%">a+b\sqrt{-5}</math> の形に書ける複素数全体の成す{{ill2|二次の整数環|en|Quadratic integer ring}} <math style="vertical-align:bottom">\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> で 6 は
<div style="margin:1ex auto 1ex 2em"><math>6 = 2\cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math></div>
の2通りに分解される。この環における単元は {{math2|1, &minus;1}} のみであり、{{math2|2, 3, 1± {{sqrt|&minus;5}}}} は同伴ではないので、この2通りの分解は実際に異なる分解である。これらの4つの因子がいずれも既約元となることは、それほど明らかではないとしても、それを示すことは難しくない。[[代数的整数]]も参照。
* 多項式環の[[剰余環]]は殆どが UFD にならない。例えば {{mvar|R}} を可換環とするとき、{{math2|''R''[''X'', ''Y'', ''Z'', ''W'']/(''XY'' &minus; ''ZW'')}} は UFD ではない。二段階に分けてそれを示そう。
*: まず、{{math2|''X'', ''Y'', ''Z'', ''W''}} は何れも既約元であることを示す。多項式の次数を使って {{math2|''R''[''X'', ''Y'', ''Z'', ''W'']/(''XY'' &minus; ''ZW'')}} を次数環と見なすとき、{{mvar|X}} は {{math|1}}次であるから、''X'' が2つの零元でも単元でもない元の積に書けるとすれば、その2つの因子は 1次の元 {{math2|''αX'' + ''βY'' + ''γZ'' + ''δW''}} と {{math|0}}次の元 {{mvar|r}} でなければならない。このとき {{math2|''X'' {{=}} ''rαX'' + ''rβY'' + ''rγZ'' + ''rδW''}} であるから {{math2|''R''[''X'', ''Y'', ''Z'', ''W'']}} において 1次の元 {{math2|(''rα'' &minus; 1)''X'' + ''rβY'' + ''rγZ'' + ''rδW''}} がイデアル {{math|(''XY'' &minus; ''ZW'')}} に属さなければならないが、このイデアルの零でない元は {{math|2}} より大きな次数を持たねばならないので、必然的に {{math2|(''rα'' &minus; 1)''X'' + ''rβY'' + ''rγZ'' + ''rδW''}} は {{math2|''R''[''X'', ''Y'', ''Z'', ''W'']}} における零元でなければならない。これより {{math2|''rα'' {{=}} 1}} が従うから、{{mvar|r}} は単元であることになり矛盾を生じる。ゆえに {{mvar|X}} は既約であり、同様に {{math2|''Y'', ''Z'', ''W''}} の既約性も示される。
*: 次に、剰余環において関係式 {{math2|''XY'' &minus; ''ZW'' {{=}} 0}} が成立するから、{{mvar|XY}} と {{mvar|ZW}} は同じ元を表している。先に述べたことと併せれば、これはつまり {{math2|''XY'' {{=}} ''ZW''}} が同じ元の相異なる2つの既約元分解を与えることを意味するから、{{math2|''R''[''X'', ''Y'', ''Z'', ''W'']/(''XY'' &minus; ''ZW'')}} は UFD ではない。
* 一変数正則函数環は、無限個の零点を持つ正則函数が存在して、そのような函数はたとえば <div style="margin:1ex auto 1ex 2em"><math>\sin \pi z = \pi z \textstyle\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)</math></div> のように無限個の既約因子を持つため、UFD とはならない。UFD においては有限個の因子に分解されなければならない。
* 一般に、[[ネーター環]]は必ずしも UFD ではない。任意のネーター環において、零元でも単元でもない元は必ず既約元の積として書けるけれども、この積としての表示が一意である必要は無い{{sfn|森田|1987|p=87}}。

== 性質 ==
整数に対して定義されるいくつかの概念が UFD に対しても一般化して定義される。
* UFD では[[既約元]]は必ず[[素元]]である（一般に、任意の整域において素元は必ず既約元であるが逆は必ずしも成り立たない）<ref group="注">素数の、自分自身と {{math|1}} 以外に約元を持たないという性質に対応するものが'''既約元'''、いくつかの数を因子とする積を素数が割るならばその中のある因子がその素数によって割られるという性質に対応するものが'''素元'''である。</ref>。また、[[ネーター環]]はその任意の既約元が素元となるならば UFD であるという意味で、部分的に逆が成立する。
* UFD のどの2つ（あるいは有限個）の元に対しても、[[最大公約数|最大公約元]]と[[最小公倍数|最小公倍元]]が存在する。ここで、2元 {{math2|''a'', ''b''}} の最大公約元とは {{mvar|a}} と {{mvar|b}} とをともに割り切る元（公約元）{{mvar|d}} であって、他の公約元が全て {{mvar|d}} の約数となるもののことである。{{math2|''a'', ''b''}} の最大公約元は（複数存在したとしても）全て同伴である。
* 任意の UFD は[[整閉整域]]である。言い換えれば、{{mvar|R}} が[[整域]]で、{{mvar|K}} をその[[商体]]とすれば、{{mvar|K}} の元 {{mvar|k}} が {{mvar|R}} に係数を持つ[[モニック多項式]]の根ならば {{mvar|k}} は必ず {{mvar|R}} に属する。

== UFD となる条件の言い換え ==
[[ネーター環]]が UFD となる必要十分条件は、その高さ {{math|1}} の素イデアルがすべて単項イデアルとなることである。同様に、[[デデキント環]]が UFD となる必要十分条件は、その[[イデアル類群]]が自明であることである。この場合は実際には[[単項イデアル環|主イデアル環]]となる。

ネーター的ではない整域についても、それが UFD となることに同値な条件の言いかえができる。{{mvar|A}} を整域として、以下の条件は互いに同値である。
# {{mvar|A}} が UFD である。
# {{mvar|A}} の任意の {{math|0}} でない[[素イデアル]]が[[素元]]を含む ([[アーヴィング・カプランスキー|Kaplansky]]){{full|date=2018年10月}}。
# {{mvar|A}} が[[主イデアルに関する昇鎖条件]] (ACCP) を満たし、{{mvar|S}} が素元の生成する {{mvar|A}} の[[積閉集合]]ならば[[環の局所化|局所化]] {{math2|''S''{{sup|&minus;1}}''A''}} が UFD となる（永田の判定条件）。
# {{mvar|A}} が (ACCP) を満たし、かつ、任意の[[既約元]]が[[素元]]である。
# {{mvar|A}} が{{ill2|分解整域|en|atomic domain}}（零元でも単元でもない任意の元が既約元の有限積に表すことができる）かつ任意の既約元が素元である。
# {{mvar|A}} が[[GCD整域]]（つまり、任意の2つの元についてそれらの最大公約数が存在する整域）であって、(ACCP) を満たす。
# {{mvar|A}} が[[シュライアー整域]]<ref group="注">'''シュライアー整域'''とは、整閉整域であって、その任意の元 {{mvar|x}} が積 {{mvar|yz}} を整除する限りにおいて常に、{{mvar|y}} を割る {{math|''x''{{sub|1}}}} と {{mvar|z}} を割る {{math|''x''{{sub|2}}}} を用いて、{{math2|''x'' {{=}} ''x''{{sub|1}}''x''{{sub|2}}}} の形に書けるものをいう。特に GCD 整域はシュライアー整域である。</ref>かつ分解整域である。
# {{mvar|A}} が前シュライアー整域かつ分解整域である。
# {{mvar|A}} は任意の因子が単項生成であるという[[因子論]] (divisor theory) を持つ。
# {{mvar|A}} は[[クルル環]]で、任意の[[分数イデアル#因子的イデアル|因子的イデアル]]が主イデアルとなる{{efn2|実は[[ブルバキ数学原論|ブルバキ]]ではこれが一意分解環の定義である{{sfn|ブルバキ|1972|p=34|loc=第7章, §3, n{{sup|o}} 1, 定義 1}}。}}。
# {{mvar|A}} がクルル環で、しかも高さ 1 の素イデアルはすべて主イデアルである{{sfn|ブルバキ|1972|p=34|loc=第7章, §3, n{{sup|o}} 2, 定理 1}}。

実用上は、2. と 3. の条件が UFD の確認には最も有用である。たとえば PID において任意の素イデアルは素元によって生成されるから、2. から直ちに PID が UFD となることが従う。

他の例としては、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるネーター環が考えられる。実際、任意の素イデアルが高さ有限だから、それは（高さに関する帰納法で）高さ 1 の素イデアルを含み、それは主イデアルと仮定したから、2. によりその環は UFD になる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書 |author=[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]] |editor=木下素夫 |translator=[[成田正雄]]・清水達雄 |date=1972-02-25 |title=可換代数 4 |series=[[数学原論|ブルバキ数学原論]]〔第2期ｰ17〕 |publisher=東京書籍 |isbn=978-4-489-00217-5 |ref={{Harvid|ブルバキ|1972}} }}
*{{Cite book|和書 |author=[[森田康夫 (数学者)|森田康夫]] |title=代数概論 |series=数学選書 9 |publisher=裳華房 |date=1987-11 |isbn=978-4-7853-1311-1 |ref={{Harvid|森田|1987}}}}
*{{Lang Algebra|edition=3}} Chapter II.5.
*{{Citation |author=B. Hartley |coauthors=T.O. Hawkes |title=Rings, modules and linear algebra |publisher=Chapman and Hall |year=1970 |isbn=0-412-09810-5}} Chapter 4.
*{{Citation |last=Samuel |first=Pierre |year=1968 |date=1968-11 |title=Unique factorization |journal=The American Mathematical Monthly |publisher=Taylor & Francis, Ltd. |pages=945-952 |volume=75 |issue=9 |doi=10.2307/2315529 |issn=0002-9890}} 
*{{Citation |first=David |last=Sharpe |title=Rings and factorization |publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] |year=1987 |isbn=0-521-33718-6}}

== 外部リンク == 
*{{YouTube|T4-53rS4yys|代数学1 第12回　UFD（一意分解整域）}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:いちいふんかいかん}}
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:環論]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]