一意性 (数学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年12月}}
{{Expand English|date=2022年2月}}
'''一意性'''（いちいせい、{{lang-en|uniqueness}}）とは[[数学]]分野において、注目している[[数学的対象]]が「[[存在記号|存在]]するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。

これら二つの主張は[[一階述語論理|論理的な意味]]が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。

たとえば[[群論の用語|群論]]における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、[[整数論]]における「[[素因数分解の一意性]]」は後者が成り立つことを主張している。

また、一意的に存在することを記号「[[#述語論理|∃!]]」<ref>{{Cite web |url=https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section02.05.html |title=2.5 Uniqueness Arguments|website=www.whitman.edu |access-date=2019-12-15 |work=Introduction to Higher Mathematics |author=Patrick Keef, David Guichard |language=en }}</ref>、もしくは「∃<sub>=1</sub>」のように書くことができ、たとえば 　

:  <math>\exists! n \in \mathbb{N}\,(n - 2 = 4)</math>　

は、「<math>n - 2 =4</math> を満たすような自然数 <math>n</math> がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。

== 一意性の証明 ==

ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例: <math>a</math> と <math>b</math>）、それらが互いに等しいこと（すなわち <math>a = b</math>）を示すことで得られる。

例えば、方程式: <math>x + 2 = 5</math> 満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち <math>x</math> を満たす解 <math>3</math> が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい:

:<math> 3 + 2 = 5 </math>。

解が一意性であることを示すために、<math>x + 2 = 5</math> を満たす解が、''<math>a</math>'' と ''<math>b</math>'' の2つ存在することを仮定して解く。 このとき、

:<math> a + 2 = 5</math> かつ <math> b + 2 = 5 </math>。

両方の方程式から等号の[[推移関係|推移律]]により、
:<math> a + 2 = b + 2 </math>。

両辺から 2 を引くと、
:<math> a = b </math>。

となり、<math>x + 2 = 5</math> を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。

一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、[[存在記号|存在性]]（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。

一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象 <math>a</math> が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が <math>a</math> と等しいことを証明する方法がある。

== 述語論理 ==
[[一階述語論理#一階の言語|述語]]（性質） {{mvar|P}} を満たす[[議論領域]]の対象 {{mvar|x}} がただ一つ存在するという[[命題]]を {{math|&exist;!''x'' ''P''(''x'')}} と書く。これは[[述語論理]]の[[連言]] {{math|&and;}} ・[[論理包含|含意]] {{math|&rarr;}} ・[[存在記号]] {{math|&exist;}} ・[[全称記号]] {{math|&forall;}} などを用いて書かれる
:<math>\exists x \, [ P(x) \land \forall y \, [ P(y) \rarr x = y ] ]</math>
という[[命題]]を指す。[[同値]]な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した
:<math>\exists x \, P(x) \land \forall y \forall z \, [ [P(y) \land P(z)] \rarr y = z ]</math>
や短さに重きをおいた
:<math>\exists x \, \forall y \, [ P(y) \harr x = y ]</math>
などがある。

== 関連項目 ==
*[[One-hot]]
*[[単集合]]

== 参考文献 ==

*{{cite book |author=[[スティーヴン・コール・クリーネ]] |title=Introduction to Metamathematics |year=1952 |publisher=Ishi Press International |pages=199 |oclc=523942 |doi=10.2307/2268620 }}
*{{cite book |author=[[:en:Peter B. Andrews|ピーター・B・アンドリュース]] |title=An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof |year=2002 |publisher=Kluwer Acad. Publ. |location=Dordrecht |isbn=1-4020-0763-9 |pages=233 |edition=2. |lccn=2002-031656 |doi=10.1007/978-94-015-9934-4 |issn=1386-2790  }}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{Normdaten}}{{数学}}{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:いちいせい}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:1]]
[[Category:数学用語]]
[[Category:量化]]