一意性 (数学)

テンプレート:出典の明記テンプレート:Expand English 一意性（いちいせい、テンプレート:Lang-en）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。

これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。

たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。

また、一意的に存在することを記号「∃!」^[1]、もしくは「∃₌₁」のように書くことができ、たとえば　

\exists! n \in ℕ (n - 2 = 4)

は、「 $n - 2 = 4$ を満たすような自然数 $n$ がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。

一意性の証明

ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例: $a$ と $b$ ）、それらが互いに等しいこと（すなわち $a = b$ ）を示すことで得られる。

例えば、方程式: $x + 2 = 5$ 満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち $x$ を満たす解 $3$ が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい:

3 + 2 = 5

。

解が一意性であることを示すために、 $x + 2 = 5$ を満たす解が、 $a$ と $b$ の2つ存在することを仮定して解く。このとき、

a + 2 = 5

かつ

b + 2 = 5

。

両方の方程式から等号の推移律により、

a + 2 = b + 2

。

両辺から 2 を引くと、

a = b

。

となり、 $x + 2 = 5$ を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。

一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、存在性（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。

一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象 $a$ が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が $a$ と等しいことを証明する方法がある。

\exists x [P (x) \land \forall y [P (y) \to x = y]]

という命題を指す。同値な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した

\exists x P (x) \land \forall y \forall z [[P (y) \land P (z)] \to y = z]

や短さに重きをおいた

\exists x \forall y [P (y) \leftrightarrow x = y]

などがある。