一様可積分性のソースを表示

'''一様可積分性'''（いちようかせきぶんせい、{{Lang-en-short|uniform integrability}}）とは、[[数学]]の[[実解析]]、[[関数解析学]]および[[測度論]]の分野における重要な概念で、[[ルベーグ積分|ルベーグ可積分性]]の概念を拡張し、[[条件付き期待値]]や[[マルチンゲール]]の理論の発展のために重要な役割を担うものである。[[確率変数の収束]]において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が <math>\mathbb{L}^p</math> の意味において収束するための必要十分条件を与える。

==形式的定義==
次の定義が適用される<ref>{{cite book|last=Williams|first=David|title=Probability with Martingales|year=1997|publisher=Cambridge Univ. Press.|location=Cambridge|isbn=978-0-521-40605-5|pages=126-132|url=http://www.amazon.com/Probability-Martingales-Cambridge-Mathematical-Textbooks/dp/0521406056|edition=Repr.}}</ref>。

* [[確率変数]]のクラス <math>\mathcal{C}</math> が'''一様可積分'''であるとは、<math>\epsilon>0</math> が与えられた時、<math>E(|X|I_{|X|\geq K})\le\epsilon</math> がすべての <math>X \in \mathcal{C}</math> に対して成立するような <math>K\in[0,\infty)</math> が存在することを言う。ただし <math> I_{|X|\geq K} </math> は[[指示関数]] <math display="block"> I_{|X|\geq K} = \begin{cases} 1 &\text{if } |X|\geq K, \\ 0 &\text{if } |X| < K \end{cases}</math> である。 

* 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス <math>\mathcal{C}</math> が'''一様可積分'''であるとは、
** <math>\mathcal{C}</math> に含まれるすべての <math>X</math> に対して、<math>\mathrm E(|X|)\leqslant K</math> となるような有限の <math>K</math> が存在する。
** すべての <math>\epsilon > 0</math> に対してある <math>\delta > 0</math> が存在し、<math>\mathrm P(A)\leqslant \delta</math> となるようなすべての可測な <math>A</math> および、すべての <math>X \in \mathcal{C}</math> に対して、<math>\mathrm E(|X|:A)\leqslant\epsilon</math> が成立する。
:の二つが成立することを言う。

==関連する系==
次のような結果がある。
* 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:
:: <math>\lim_{K \to \infty} \sup_{X \in \mathcal{C}} E(|X|||X|\ge K)=0.</math>
* 確率変数 <math>X_n,\ n=1,2,\ldots</math> の列を考える。<math display="block">X_n(\omega)=n,\ \forall \omega\in \left(0,\frac{1}{n}\right),\ X_n(\omega)=0 \text{ otherwise}</math> と定義する。すべての ''n'' に対して <math>E(|X_n|)=1</math> であるため、明らかに <math>X_n\in \mathbb{L}^1</math> である。しかし、上の一つ目の定義に従えば <math display="block">E(|X_n|,|X_n|\ge K)= 1\ \forall n\ge K </math> であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。[[File:Uniform integrability.png|thumb|一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯（strip）の部分は、<math>X_n \to 0</math> としても <math>\infty</math> へと向かう。]]   
* 上の二つ目の定義によれば、<math>X_n</math> が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし <math>X</math> が一様可積分な確率変数であれば、<math display="block">E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)</math> と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は <math>\mathbb{L}^1</math> に含まれることが分かる。また、任意の <math>\mathbb{L}^1</math> 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
* 確率変数 <math>X_n</math> のどのような列も、ある可積分な非負の <math>Y</math> によって支配されているなら、すなわち、任意の &omega; と ''n'' に対して、<math display="block">\ |X_n(\omega)| \le |Y(\omega)|,\ Y(\omega)\ge 0,\ E(Y)< \infty </math> が成立しているなら、確率変数 <math>\{X_n\}</math> のクラス <math>\mathcal{C}</math> は一様可積分である。
* <math>\mathcal{L}^p</math> (<math>p>1</math>) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

==関連する定理==
* '''{{ill2|Nelson Dunford|en|Nelson Dunford|label=ダンフォード}}–{{ill2|Billy James Pettis|en|Billy James Pettis|label=ペティス}}の定理'''<ref>[[Claude Dellacherie and Paul-André Meyer|Dellacherie, C. and Meyer, P.A.]] (1978). ''Probabilities and Potential'',  North-Holland Pub. Co, N. Y. (Theorem T25).</ref>
:確率変数 <math>X_n \subset L^1(\mu)</math> のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが[[弱位相]]において{{仮リンク|相対的にコンパクトな部分空間|label=相対コンパクト|en|Relatively compact subspace}}であることである。
*'''{{ill2|Charles Jean de la Vallée-Poussin|en|Charles Jean de la Vallée-Poussin|label=ド・ラ・バレ・プーサン}}の定理'''<ref>{{ill2|Paul-André Meyer|en|Paul-André Meyer|label=Meyer, P.A.}} (1966). ''Probability and Potentials'', Blaisdell Publishing Co, N. Y. (p.19, Theorem T22).</ref>
:族 <math>\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in\Alpha}</math> が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 <math>G(t)</math> で <math display="block">\lim_{t \to \infty} \frac{G(t)}{t} = \infty</math> および <math>\sup_{\alpha} E(G(|X_{\alpha}|)) < \infty </math> を満たすようなものが存在することである。

==確率変数の収束との関係==
{{main|確率変数の収束}}
* 数列 <math>\{X_n\}</math> が <math>L_1</math> ノルムにおいて <math>X</math> へと収束するための必要十分条件は、それが <math>X</math> へと[[測度収束]]し、かつ一様可積分であることである。
* 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{cite book|authorlink=:en:Albert Nikolayevich Shiryaev|author=A.N. Shiryaev|year=1995|title=Probability|edition=2|publisher=Springer-Verlag|location=New York|pages=187–188|isbn=978-0-387-94549-1}}
* {{cite book|author=Walter Rudin|authorlink=ウォルター・ルーディン|year=1987|title=Real and Complex Analysis|edition=3|publisher=McGraw–Hill Book Co.|location=Singapore|page=133|isbn=0-07-054234-1}}
* J. Diestel and J. Uhl (1977). ''Vector measures'', Mathematical Surveys 15, [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]], Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1
  
{{DEFAULTSORT:いちようかせきふんせい}}
[[Category:マルチンゲール理論]]
[[Category:確率論]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]