一次分数変換のソースを表示

[[数学]]の特に[[複素解析]]における'''一次分数変換'''（いちじぶんすうへんかん、{{lang-en-short|''linear fractional transformation''}}）は、[[複素数]][[可換体|体]] {{math|'''C'''}} 上の[[複素射影直線|射影直線]] {{math|''P''('''C''')}} に対する[[射影変換]]である[[メビウス変換]]を指す用語として用いられる。より一般の数学的文脈において、複素数体 {{math|'''C'''}} はもっと別の[[環 (数学)|環]] {{math|(''A'', +, ×)}} に取り換えることができる<ref>N. J. Young (1984) [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379584901319 "Linear fractional transformations in rings and modules"], [[Linear Algebra and its Applications]] 56:251–90</ref>。この場合の一次分数変換は、環 {{mvar|A}} 上の[[環上の射影直線|射影直線]] {{math|''P''(''A'')}} 上の射影変換の意味である。{{mvar|A}} が[[可換環]]ならば、一次分数変換はよく知られた形
: <math>z \mapsto \frac{az + b} {cz + d}, \quad (z, a, b, c, d \isin A)</math>
として書き表すことができるが、非可換の場合には右辺の点の座標を{{仮リンク|斉次座標|en|homogeneous coordinates}}で {{math|(''az'' + ''b'', ''cz'' + ''d'')}} と書くのが自然である。射影空間上の斉次座標の[[同値関係|同値性]]に従えば、（{{math|''cz'' + ''d''}} が[[可逆元|単元]]であるとき）
: <math>U(az + b, cz +d) \sim U((cz + d)^{-1}(az + b), 1)</math>
が成り立つことに注意する。

== 一次分数変換の等角性 ==
各種[[二元数]]（通常の[[複素数]]、[[分解型複素数]]、[[二重数]]）の成す可換環は、「角度」で表すことのできる環である。これらに対してその虚軸上で定義された[[リー環の指数写像|純虚指数函数]]:
: <math>\exp(y j) = \cosh y + j \sinh y, \quad (j^2 = +1),</math>
: <math>\exp(y \epsilon) = 1 + y \epsilon, \quad (\epsilon^2 = 0),</math>
: <math>\exp(y i) = \cos y + i \sin y, \quad (i^2 = -1)</math>
（ただし、「偏角」{{mvar|y}} はそれぞれ、{{仮リンク|双曲角|en|hyperbolic angle}}、[[傾き (数学)|傾き]]（抛物角）、[[角度|円角]]としてそれぞれの環上で測った角度）は、{{math|(''A'', + )}} 内の{{仮リンク|一径数群|en|one-parameter group}}から[[単元群]] {{math|(''U''(''A''), × )}} への[[群準同型|準同型写像]]を与える。

一次分数変換は[[乗法逆元|逆数函数]] {{math|''z'' {{mapsto}} 1/''z''}} および[[アフィン変換|一次函数]] {{math|''z'' {{mapsto}} ''az'' + ''b''}} によって[[生成 (数学)|生成]]することができるから、その共形性（等角性）は生成元がそうであることを示すことで証明できる。実際、[[平行移動]] {{math|''z'' {{mapsto}} ''z'' + ''b''}} は原点の取り換えであって角度を変えない。また{{仮リンク|相似拡大|en|homothety|label=相似変換}} {{math|''z'' {{mapsto}} ''az''}} が等角であることは、{{mvar|a, z}} の{{仮リンク|極分解|en|polar decomposition#Alternative planar decompositions}}を考えれば、どの二元数環上でも偏角成分は {{mvar|a}} の偏角を {{mvar|z}} の偏角に加えるという[[等角写像]]になることから従う。それから[[反転変換]] {{math|''z'' {{mapsto}} 1/''z''}} は、{{mvar|b}} は {{mvar|j, ε, i}} の何れか ({{math|1=''b''{{exp|2}} = 1, 0, &minus;1}}) として {{math|exp(''yb'') {{mapsto}} exp(&minus;''yb'')}} となるからやはり等角である。

== 関連項目 ==
* [[射影線型群]]

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov (1984) ''Modern Geometry — Methods and Applications'', volume 1, chapter 2, §15 Conformal transformations of Euclidean and Pseudo-Euclidean spaces of several dimensions,  [[Springer-Verlag]] ISBN 0-387-90872-2.
* Geoffry Fox (1949) ''Elementary Theory of a hypercomplex variable and the theory of conformal mapping in the hyperbolic plane'', Master’s thesis, [[University of British Columbia]].
* P.G. Gormley (1947) "Stereographic projection and the linear fractional group of transformations of quaternions", [[Proceedings of the Royal Irish Academy]], Section A 51:67–85.
* A.E. Motter & M.A.F. Rosa (1998) "Hyperbolic calculus", [[Advances in Applied Clifford Algebras]] 8(1):109 to 28, §4 Conformal transformations, page 119.
* Tsurusaburo Takasu (1941) [http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195578674 Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2], [[Japan Academy|Proceedings of the Imperial Academy]] 17(8): 330–8, link from [[Project Euclid]], {{mr|id=14282}}
* [[Isaak Yaglom]] (1968) ''Complex Numbers in Geometry'', page 130 & 157, [[Academic Press]]

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