一次方程式のソースを表示

{{Expand English|Linear equation|date=2024年5月}}
[[数学]]における'''一次方程式'''（いちじほうていしき、{{lang-en|first-degree polynomial equation, linear equation}}）は、[[多項式の次数|一次多項式]]の[[多項式の根|解]]を求めるものである。

== 一変数の場合 ==
''{{Mvar|a}}'', ''{{Mvar|b}}'' は[[実数]]の定数とするとき、
: <math>ax+b=0</math> または <math>ax=-b</math>

なる形をとる。後者の形の場合は、''{{Mvar|a}}'' &ne; 0 ならば（''{{Mvar|a}}''<sup>&minus;1</sup> = {{sfrac|1|''{{Mvar|a}}''}} が存在するから）一意的に解けて ''{{Mvar|x}}'' = −{{sfrac|''{{Mvar|b}}''|''{{Mvar|a}}''}} がその解である。''{{Mvar|a}}'' = 0 のとき、''{{Mvar|b}}'' &ne; 0 ならば不能、''{{Mvar|b}}'' = 0 ならば不定である。

[[file:Linear Function Graph.svg|thumb|right]]

== 二変数の場合 ==
{{main|一次関数}}
一般形は
: <math>ax+by+c=0</math>
で、これは {（''{{Mvar|x}}'', ''{{Mvar|y}}''）| ''{{Mvar|ax}}'' + ''{{Mvar|by}}'' + ''{{Mvar|c}}'' = 0} なる集合、つまり[[平面]]上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、
: <math>y=mx+b</math>

なる形で扱うことができる。これはふつう、''{{Mvar|x}}'' を自由変数とし ''{{Mvar|y}}'' を ''{{Mvar|x}}'' の従属変数とみるとき、[[一次関数]]と呼ぶ。

[[file:Affine_subspace.svg|thumb|right]]

== 三変数および更に多変数の場合 ==
{{main|超平面}}
三変数の場合
: <math>ax+by+cz=d</math>
はユークリッド空間 '''{{Mvar|R}}'''<sup>3</sup> における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル '''{{Mvar|n}}''' := (''{{Mvar|a}}'', ''{{Mvar|b}}'', ''{{Mvar|c}}'') に直交し、平面上の一点 '''{{Mvar|x}}'''<sub>0</sub> が与えられれば
: <math>n(x-x_0)=0</math>
なる形に書きなおせる（[[平面における直線の標準形|平面の場合]]の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの[[点乗積]]である。このベクトル方程式は一般の ''{{Mvar|n}}''-次元で考えれば、'''{{Mvar|R}}'''<sup>''{{Mvar|n}}''</sup> 内の[[超平面]]（余次元 1 の[[アフィン部分空間]]）を表す。すなわち ''{{Mvar|n}}''-変数の一次方程式
: <math>a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b</math>
は超平面の方程式である。一次形式
: <math>L\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n</math>
は[[線型汎函数]]で、「点・傾き標準形」は
: <math>\{(x_1,\ldots,x_n)\mid a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b\}=x_0+\ker L</math>
の形に書くこともできる。

== 更なる一般化 ==
一次方程式の理論は係数や解を（実数や[[複素数]]のような数に限らず）一般の[[斜体 (数学)|（非可換）]]体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 ''{{mvar|K}}'' であるような一次方程式が拡大体 {{sfrac|''{{mvar|L}}''|''{{mvar|K}}}}'' で解を持つならば、既に ''{{mvar|K}}'' において解を持ち、''{{mvar|K}}'' における一般解がそのまま ''{{mvar|L}}'' における一般解になる。

{{see also|線型方程式系}}
''{{mvar|A}}'' が行列、''{{mvar|x}}'' がベクトル値の変数、''{{mvar|b}}'' を定ベクトルとするとき、一次方程式
: <math>Ax=b</math>
は ''{{mvar|A}}'' が正則ならば解くことができて ''{{mvar|x}}'' = ''{{mvar|A}}''<sup>&minus;1</sup>''{{mvar|b}}'' となる。

より一般に、集合 ''{{mvar|X}}'' に作用素の集合 ''{{mvar|T}}'' が与えられているとき、''{{mvar|X}}''-値の変数 ''{{mvar|x}}'' に対して作用 &tau; &isin; ''{{mvar|T}}'' および定元 ''{{mvar|b}}'' &isin; ''{{mvar|X}}'' を与えれば、方程式
: <math>\tau x = b</math>
は意味を持ち、&tau; の逆作用素 &tau;<sup>&minus;1</sup>が存在すれば ''{{mvar|x}}'' = &tau;<sup>&minus;1</sup>''{{mvar|b}}'' となる。特に ''{{mvar|T}}'' が群 ''{{mvar|G}}'' で ''{{mvar|X}}'' が[[群上の加群|''{{mvar|G}}''-加群]] ''{{mvar|M}}'' のとき、
: <math>gx + b = 0\quad (g\in G, b\in M)</math>
なども意味を持つ。

== 関連項目 ==
* [[線型性]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=LinearEquation|title=Linear Equation}}

{{代数方程式}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:いちしほうていしき}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]