一般ディリクレ級数のソースを表示

'''一般ディリクレ級数'''（いっぱんでぃりくれきゅうすう、{{lang-en-short|general Dirichlet series}}）とは、

[[複素数]]列 <math>\scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}</math>、無限大に発散する狭義の単調増加列 <math>\scriptstyle\{\lambda_n\}_{n\ge 0}</math> および複素数 ''s'' に対して、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
で表される[[級数]]のことをいう。'''指数型のディリクレ級数'''または'''広義のディリクレ級数'''ともいう。

特に、<math>\lambda_n = \log n</math> のとき、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
</math>}}
であり、(通常)[[ディリクレ級数]]となる。

また、<math>\lambda_n = n</math>、<math>z = e^{-s}</math> とすると、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n
</math>}}
と、[[冪級数|ベキ級数]]になる。


''s'' を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、'''形式的一般ディリクレ級数''' (formal general Dirichlet series)という。


== 収束性 ==
=== 収束軸 ===
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
# 任意の複素数 ''s'' に対して、一般ディリクレ級数は[[収束級数|収束]]する。
# 任意の複素数 ''s'' に対して、一般ディリクレ級数は[[発散級数|発散]]する。
# 一般ディリクレ級数が <math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma_c</math> を満たす複素数 ''s'' に対して収束し、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_c</math> を満たす複素数 ''s'' に対して発散する様な[[実数]] <math>\scriptstyle\sigma_c</math> が存在する。


この <math>\scriptstyle\sigma_c</math> を一般ディリクレ級数の'''収束軸''' (line of convergence)または'''収束座標''' (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは <math>\scriptstyle-\infty</math>、常に発散する場合は <math>\scriptstyle+\infty</math> と定める。


収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
の収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> の値は、以下の様に求められる。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k</math> が発散する場合
*: <math>\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s(n)|}{\lambda_n}</math> 。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k</math> が収束する場合
*: <math>\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\lambda_n}</math> 。

また、
{{Indent|<math>
\sigma_c = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!a_n\right|
</math>}}
という式も知られている。


=== 絶対収束性 ===
一般の級数のときと同じく、
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| e^{-\lambda_ns}
</math>}}
が収束するとき、一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
は[[絶対収束]]するという。

絶対収束する複素数 ''s'' に対する、<math>\operatorname{Re}\ s</math> の下限を'''絶対収束軸''' (line of absolute convergence)または'''絶対収束座標''' (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは <math>\scriptstyle-\infty</math>、常に絶対収束しない場合は <math>\scriptstyle+\infty</math> と定める。


ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが([[ディリクレ級数#絶対収束性|ディリクレ級数の絶対収束性]]を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}e^{-s\log\log n}
</math>}}
は、すべての複素数 ''s'' に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> を持ち、
{{Indent|<math>
\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\lambda_n} 
</math>}}
が有限の値 &alpha; をとるならば、絶対収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_a</math> は有限の値を持ち、<math>\scriptstyle 0\le\sigma_a - \sigma_a \le \alpha</math> <ref>&alpha; が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。</ref>であることが知られている。


絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
</math>}}
の絶対収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_a</math> の値は、以下の様に求められる。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|</math> が発散する場合
*: <math>\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s(n)}{\log n}</math> 。
* <math>\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|</math> が収束する場合
*: <math>\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n}</math> 。

また、
{{Indent|<math>
\sigma_a = \limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!|a_n|\right)
</math>}}
が成り立つ。

=== 一様収束性 ===
一般ディリクレ級数を
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
</math>}}
として、''s'' を変数とする[[関数 (数学)|関数]]とみなすと、<math>f(s)</math> の[[一様収束]]性が問題となる。


一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> および絶対収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_a</math> が有限の値であるならば、
このとき、
{{Indent|<math>
\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a
</math> <ref><math>\scriptstyle\sigma_c,\ \sigma_a</math> が有限の値でなくても、この不等式は成り立つ。</ref>}} 
を満たす実数 <math>\scriptstyle\sigma_u</math> が存在して、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u</math> を満たす複素数 ''s'' に対して、<math>f(s)</math> は一様収束するが、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_u</math> を満たす複素数 ''s'' に対して、<math>f(s)</math> は一様収束しない。　

この <math>\scriptstyle\sigma_u</math> を、'''一様収束軸''' (line of uniform convergence)または'''一様収束座標''' (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは <math>\scriptstyle-\infty</math>、常に一様収束しない場合は <math>\scriptstyle+\infty</math> と定める。


一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数
{{Indent|<math>
\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
</math>}}
の一様収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_u</math> の値は、以下の様に求められる。
{{Indent|<math>
\sigma_u = \limsup_{x\to\infty}\frac{\log T_x}{\log x}
</math> 。}}
ここで、
{{Indent|<math>
T_x = \!\!\!\!\sup_{-\infty<y<\infty}\left|\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!a_ne^{-i\lambda_ny}\right|
</math> 。}}

== 解析的性質 ==
=== 正則性 ===
一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
</math>}}
は、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma</math> で収束するならば、<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma</math> で[[正則関数|正則]]である。さらに、<math>f(s)</math> の[[微分]]は
{{Indent|<math>
f^{(k)}(s) = (-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n^k a_ne^{-\lambda_ns}
</math>}}
で与えられる。


<math>\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma</math> で正則である様な &sigma; の下限を <math>\scriptstyle\sigma_r</math> とおくと。
{{Indent|<math>
\sigma_r = \sup_{-\infty < y < +\infty}\limsup_{x\to-\infty}(\log\log^{+}|\varphi(x+iy)|+x) 
</math> 。}}
但し、
{{Indent|<math>
\varphi(z) = \sum_{n=1}^{\infty}(a_ne^{-\lambda_nz}/\Gamma(1+\lambda_n)),\ \ \ \log^{+}z = \max(\log z,\ 0)
</math> 。}}


=== 一般ディリクレ級数の一意性 ===
2つのディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
が、ある開領域内で収束し、そこで、<math>f(s) = g(s)</math> が成立するならば、すべての ''n'' に対して、<math>a_n = b_n</math> である。


=== 一般ディリクレ級数の係数 ===
収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> が有限の値もしくは <math>\scriptstyle-\infty</math>である、一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
に対して、&omega; を <math>\scriptstyle\lambda_n < \omega < \lambda_{n+1}</math> を満たす様にとり、<math>\scriptstyle c>\max(\sigma_c,\ 0)</math> とする。このとき
{{Indent|<math>
\sum_{k=1}^na_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+\infty}a_n\frac{e^{\omega z}}{z}dz
</math>}}
が成立する。但し、積分路は、すべての <math>\lambda_k</math> を通らない様にとる。


さらに、<math>\scriptstyle x > \sigma_c</math> であるならば、
{{Indent|<math>
a_n = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{x}^{x+T}\!\!f(x+ iy)e^{\lambda_n(x+iy)}dy
</math> 。}}


=== 一般ディリクレ級数の零点の個数 ===
&epsilon;、 &delta;、''T'' を任意の正数とする。

収束軸 <math>\scriptstyle\sigma_c</math> が有限の値である一般ディリクレ級数
{{Indent|<math>
f(s) = \sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}
</math>}}
に対して、<math>\scriptstyle\sigma\ge \sigma_c+\varepsilon,\ T< t < T + 2\delta\log T</math> を満たす複素数 <math>s=\sigma+it</math> のうち、<math>f(s) = 0</math> を満たすものの個数を <math>N(T)</math> とおくと、
<math>N(T)</math> は有限の値であり、
{{Indent|<math>
\limsup_{T\to\infty}\frac{N(T)}{\log^2T}\le\frac{\delta}{\varepsilon}
</math>}}
が成立する。


== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|last=ザギヤー|first=D. B.|translator=片山孝次|year=1990|title=数論入門|publisher=[[岩波書店]]|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=ナルキェヴィッチ|first=W.|translator=中嶋眞澄|year=2008|title=素数定理の進展 上|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=[[日本数学会]]編|year=1987|title=[[岩波数学辞典]] 第3版|publisher=岩波書店|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=日本数学会編|year=2007|title=[[岩波数学辞典]] 第4版|publisher=岩波書店|location=東京}}

== 関連項目 ==
*[[級数]]
*[[冪級数]]
*[[ディリクレ級数]]

{{DEFAULTSORT:いつはんていりくれきゆうすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]