一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、

複素数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 0}$、無限大に発散する狭義の単調増加列 $\{{\lambda }_n{\}}_{n\ge 0}$ および複素数 s に対して、 テンプレート:Indent で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。

特に、${\lambda }_n=\log n$ のとき、 テンプレート:Indent であり、(通常)ディリクレ級数となる。

また、${\lambda }_n=n$、$z=e^{-s}$ とすると、 テンプレート:Indent と、ベキ級数になる。

s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。

収束性

収束軸

任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。

1. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
2. 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
3. 一般ディリクレ級数が $\mathrm{Re}s>{\sigma }_c$ を満たす複素数 s に対して収束し、$\mathrm{Re}s<{\sigma }_c$ を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 ${\sigma }_c$ が存在する。

この ${\sigma }_c$ を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは $-\mathrm{\infty }$、常に発散する場合は $+\mathrm{\infty }$ と定める。

収束軸の値の求め方

一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent の収束軸 ${\sigma }_c$ の値は、以下の様に求められる。

• $s_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ が発散する場合

  ${\sigma }_c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |s(n)|}{{\lambda }_n}$ 。

• $s_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ が収束する場合

  ${\sigma }_c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |a_n+a_{n+1}+\cdots |}{{\lambda }_n}$ 。

また、 テンプレート:Indent という式も知られている。

絶対収束性

一般の級数のときと同じく、 テンプレート:Indent が収束するとき、一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent は絶対収束するという。

絶対収束する複素数 s に対する、$\mathrm{Re}s$ の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは $-\mathrm{\infty }$、常に絶対収束しない場合は $+\mathrm{\infty }$ と定める。

ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。

例えば テンプレート:Indent は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。

一般に、収束軸が有限の値 ${\sigma }_c$ を持ち、 テンプレート:Indent が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 ${\sigma }_a$ は有限の値を持ち、$0\le {\sigma }_a-{\sigma }_a\le \alpha$ であることが知られている。

絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。

一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent の絶対収束軸 ${\sigma }_a$ の値は、以下の様に求められる。

• $s_n={\sum }_{k=1}^n|a_k|$ が発散する場合

  ${\sigma }_a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log s(n)}{\log n}$ 。

• $s_n={\sum }_{k=1}^n|a_k|$ が収束する場合

  ${\sigma }_a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log (|a_n|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}$ 。

また、 テンプレート:Indent が成り立つ。

一様収束性

一般ディリクレ級数を テンプレート:Indent として、s を変数とする関数とみなすと、$f(s)$ の一様収束性が問題となる。

一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 ${\sigma }_c$ および絶対収束軸 ${\sigma }_a$ が有限の値であるならば、 このとき、 テンプレート:Indent を満たす実数 ${\sigma }_u$ が存在して、$\mathrm{Re}s>{\sigma }_u$ を満たす複素数 s に対して、$f(s)$ は一様収束するが、$\mathrm{Re}s<{\sigma }_u$ を満たす複素数 s に対して、$f(s)$ は一様収束しない。　

この ${\sigma }_u$ を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは $-\mathrm{\infty }$、常に一様収束しない場合は $+\mathrm{\infty }$ と定める。

一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。

ディリクレ級数 テンプレート:Indent の一様収束軸 ${\sigma }_u$ の値は、以下の様に求められる。 テンプレート:Indent ここで、 テンプレート:Indent

解析的性質

正則性

一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent は、$\mathrm{Re}s>\sigma$ で収束するならば、$\mathrm{Re}s>\sigma$ で正則である。さらに、$f(s)$ の微分は テンプレート:Indent で与えられる。

$\mathrm{Re}s>\sigma$ で正則である様な σ の下限を ${\sigma }_r$ とおくと。 テンプレート:Indent 但し、 テンプレート:Indent

一般ディリクレ級数の一意性

2つのディリクレ級数 テンプレート:Indent が、ある開領域内で収束し、そこで、$f(s)=g(s)$ が成立するならば、すべての n に対して、$a_n=b_n$ である。

一般ディリクレ級数の係数

収束軸 ${\sigma }_c$ が有限の値もしくは $-\mathrm{\infty }$である、一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent に対して、ω を ${\lambda }_n<\omega <{\lambda }_{n+1}$ を満たす様にとり、$c>\max ({\sigma }_c,0)$ とする。このとき テンプレート:Indent が成立する。但し、積分路は、すべての ${\lambda }_k$ を通らない様にとる。

さらに、$x>{\sigma }_c$ であるならば、 テンプレート:Indent

一般ディリクレ級数の零点の個数

ε、 δ、T を任意の正数とする。

収束軸 ${\sigma }_c$ が有限の値である一般ディリクレ級数 テンプレート:Indent に対して、$\sigma \ge {\sigma }_c+\epsilon ,T<t<T+2\delta \log T$ を満たす複素数 $s=\sigma +it$ のうち、$f(s)=0$ を満たすものの個数を $N(T)$ とおくと、 $N(T)$ は有限の値であり、 テンプレート:Indent が成立する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 級数
• 冪級数
• ディリクレ級数