一般化アペル多項式のソースを表示

[[数学]]において、ある[[多項式列]] <math>\{p_n(z) \}</math> に'''一般化アペル表現'''（いっぱんかアペルひょうげん、{{Lang-en-short|generalized Appell representation}}）が存在するとは、その[[多項式]]の[[母関数]]が次の形式を取ることを言う：

:<math>K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n.
</math>

ただし母関数あるいは[[核 (圏論)|核]]と呼ばれる <math>K(z,w)</math> は、次の級数によって構成される：

:<math>A(w)= \sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad</math> with <math>a_0 \ne 0 </math>

および

:<math>\Psi(t)= \sum_{n=0}^\infty \Psi_n t^n \quad</math> and all <math>\Psi_n \ne 0 </math>

および

:<math>g(w)= \sum_{n=1}^\infty g_n w^n \quad</math> with <math>g_1 \ne 0.</math>

上述のように、<math>p_n(z)</math> が[[多項式の次数|次数]] <math>n</math> の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、[[ボアズ＝バック多項式]]が挙げられる。

== 特別な場合 ==
* <math>g(w)=w</math> とすると、[[ブレンケ＝チハラ多項式|ブレンケ多項式]]のクラスに属する多項式が得られる。
* <math>\Psi(t)=e^t</math> とすると、[[ニュートン多項式]]のような[[差分多項式|一般差分多項式]]を含む多項式の[[シェファー列]]が得られる。
* それらを合わせて <math>g(w)=w</math> および <math>\Psi(t)=e^t</math> とすることで、多項式の{{仮リンク|アペル列|en|Appell sequence}}が得られる。

== 陽的表現 ==

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

:<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k \Psi_k h_k.</math>

この定数は

:<math>h_k=\sum_{P} a_{j_0} g_{j_1} g_{j_2} \cdots g_{j_k} </math>

で与えられる。ただしこの和は <math>n</math> を <math>k+1</math> 個に[[自然数の分割|分割]]するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての <math>\{j\}</math> に対して取られる。

:<math>j_0+j_1+ \cdots +j_k = n.\,</math>

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

:<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n \frac {a_{n-k} z^k} {k!}.</math>

== 漸化式 ==

核 <math>K(z,w)</math> が <math>g_1=1</math> に対し <math>A(w)\Psi(zg(w))</math> と書くことが出来るための必要十分条件は

:<math>\frac{\partial K(z,w)}{\partial w} = 
c(w) K(z,w)+\frac{zb(w)}{w} \frac{\partial K(z,w)}{\partial z}</math>

が成り立つことである。ただし <math>b(w)</math> および <math>c(w)</math> にはべき級数表現

:<math>b(w) = \frac{w}{g(w)} \frac {d}{dw} g(w)
= 1 + \sum_{n=1}^\infty b_n w^n</math>

および

:<math>c(w) = \frac{1}{A(w)} \frac {d}{dw} A(w)
= \sum_{n=0}^\infty c_n w^n </math>

が存在する。今

:<math>K(z,w)= \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n</math>

を代入することで、次の[[漸化式]]が直ちに得られる。

:<math> z^{n+1} \frac {d}{dz} \left[ \frac{p_n(z)}{z^n} \right]= 
-\sum_{k=0}^{n-1} c_{n-k-1} p_k(z) 
-z \sum_{k=1}^{n-1} b_{n-k} \frac{d}{dz} p_k(z).
</math>

ブレンケ多項式の特別な場合として、<math>g(w)=w</math> が得られ、したがって <math>b_n=0</math> が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|q-差分多項式|en|q-difference polynomial}}

== 参考文献 ==
* Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, ''Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected)'', (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
* William C. Brenke, ''On generating functions of polynomial systems'', (1945) American Mathematical Monthly, '''52''' pp.&nbsp;297–301.
* W. N. Huff, ''The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)'' (1947) Duke Mathematical Journal, '''14''' pp.&nbsp;1091–1104.

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