一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列 ${p_{n} (z)}$ に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、テンプレート:Lang-en-short）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

K (z, w) = A (w) Ψ (z g (w)) = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} (z) w^{n} .

ただし母関数あるいは核と呼ばれる $K (z, w)$ は、次の級数によって構成される：

A (w) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} w^{n}

with

a_{0} \neq 0

および

Ψ (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} Ψ_{n} t^{n}

and all

Ψ_{n} \neq 0

および

g (w) = \sum_{n = 1}^{\infty} g_{n} w^{n}

with

g_{1} \neq 0 .

上述のように、 $p_{n} (z)$ が次数 $n$ の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

p_{n} (z) = \sum_{k = 0}^{n} z^{k} Ψ_{k} h_{k} .

この定数は

h_{k} = \sum_{P} a_{j_{0}} g_{j_{1}} g_{j_{2}} \dots g_{j_{k}}

で与えられる。ただしこの和は $n$ を $k + 1$ 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての ${j}$ に対して取られる。

j_{0} + j_{1} + \dots + j_{k} = n .

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

p_{n} (z) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{n - k} z^{k}}{k!} .

核 $K (z, w)$ が $g_{1} = 1$ に対し $A (w) Ψ (z g (w))$ と書くことが出来るための必要十分条件は

\frac{\partial K (z, w)}{\partial w} = c (w) K (z, w) + \frac{z b (w)}{w} \frac{\partial K (z, w)}{\partial z}

が成り立つことである。ただし $b (w)$ および $c (w)$ にはべき級数表現

b (w) = \frac{w}{g (w)} \frac{d}{d w} g (w) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} w^{n}

および

c (w) = \frac{1}{A (w)} \frac{d}{d w} A (w) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} w^{n}

が存在する。今

K (z, w) = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} (z) w^{n}

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

z^{n + 1} \frac{d}{d z} [\frac{p_{n} (z)}{z^{n}}] = - \sum_{k = 0}^{n - 1} c_{n - k - 1} p_{k} (z) - z \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{n - k} \frac{d}{d z} p_{k} (z) .

ブレンケ多項式の特別な場合として、 $g (w) = w$ が得られ、したがって $b_{n} = 0$ が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.