一般化タクシー数のソースを表示

'''一般化タクシー数'''（いっぱんかタクシーすう、{{lang|en|generalized taxicab number}}）Taxicab(''k'', ''j'', ''n'') とは、''k'' 乗数の和 ''j'' 個で ''n'' 通りに表される最小の正の[[整数]]と定義される。''k'' = 3 かつ ''j'' = 2 である場合は ''n'' 番目の[[タクシー数]] Ta(''n'') となる。例えば
:<math>\begin{align}
\mathrm{Taxicab}(1,2,2)&=4=1+3=2+2, \\
\mathrm{Taxicab}(1,2,3)&=6=1+5=2+4=3+3, \\
\mathrm{Taxicab}(2,2,2)&=50=1^2+7^2=5^2+5^2, \\
\mathrm{Taxicab}(2,2,3)&=325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2, \\
\mathrm{Taxicab}(3,2,2)&=\mathrm{Ta}(2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3
\end{align}</math>
である。最後の例が[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]のタクシー数である。[[レオンハルト・オイラー]]によって以下のことが示されている。
:<math>\mathrm{Taxicab}(4, 2, 2) = 635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4.</math>

しかし任意の整数 ''k'' &ge; 5 に対して、Taxicab(''k'', 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の ''k'' (&ge; 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない<ref>{{cite book
  | last = Guy
  | first = Richard K.
  | authorlink = Richard K. Guy
  | title = Unsolved problems in number theory (third edition)
  | publisher = Springer-Science+Business Media, Inc.
  | date = 2004
  | location = New York, New York, USA
  | pages = 437
  | url = https://books.google.co.jp/books?id=1AP2CEGxTkgC&printsec=frontcover&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=&f=false
  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 0-387-20860-7 }}
</ref>。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の'''差'''として3通りの方法であらわせる例
:<math>25900232113758000049920=401168^4-17228^4=415137^4-248289^4=421296^4-273588^4</math>
を発見した{{harv|Zajta|1983}}。

==例==
:<math>\mathrm{Taxicab}(1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots=n+n</math>

:<math>\mathrm{Taxicab}(2,3,2)=27=1^2+1^2+5^2=3^2+3^2+3^2</math>

:{|class="wikitable" style="text-align:right;"
!''k''
!''j''
!Taxicab(''k'', ''j'',1)
!Taxicab(''k'', ''j'',2)
!Taxicab(''k'', ''j'',3)
!Taxicab(''k'', ''j'',4)
![[OEIS]]
|-
!2
!2
|[[2]]
|[[50]]
|[[325]]
|1105
|{{OEIS2C|A016032}}
|-
!2
!3
|[[3]]
|[[27]]
|[[54]]
|[[129]]
|{{OEIS2C|A025414}}
|-
!2
!4
|[[4]]
|[[31]]
|[[28]]
|[[52]]
|{{OEIS2C|A025416}}
|-
!3
!2
|[[2]]
|[[1729]]
|87539319
|6963472309248
|{{OEIS2C|A011541}}
|-
!3
!3
|[[3]]
|[[251]]
|5104
|13896
|{{OEIS2C|A025418}}
|-
!3
!4
|[[4]]
|[[219]]
|[[1225]]
|[[1979]]
|{{OEIS2C|A025420}}
|-
!4
!2
|[[2]]
|635318657
|
|
|{{OEIS2C|A230562}}
|-
!4
!3
|[[3]]
|2673
|
|
|
|}
:Taxicab(''k'',2,2)は{{OEIS2C|A016078}}をTaxicab(''k'',3,2)は{{OEIS2C|A230563}}を参照。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* [https://web.archive.org/web/20050425023736/http://www.wschnei.de/number-theory/taxicab-numbers.html Walter Schneider: Taxicab numbers]
* {{citation
| last = Zajta
| first = Aurel J.
| title = Solutions of the Diophantine equation <math>A^4+B^4=C^4+D^4</math>
| journal = Math. Comp.
| year = 1983
| doi = 10.1090/S0025-5718-1983-0717709-0 
| mr = 0717709
| ref = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[タクシー数]]
* [[キャブタクシー数]]

{{DEFAULTSORT:いつはんかたくしいすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Taxicab-Zahl#Verallgemeinerte Taxicab-Zahl]]