一般化タクシー数

一般化タクシー数（いっぱんかタクシーすう、テンプレート:Lang）Taxicab(k, j, n) とは、k 乗数の和 j 個で n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3 かつ j = 2 である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n) となる。例えば

$\begin{array}{cc}\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(1,2,2)& =4=1+3=2+2,\\ \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(1,2,3)& =6=1+5=2+4=3+3,\\ \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(2,2,2)& =50=1^2+7^2=5^2+5^2,\\ \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(2,2,3)& =325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2,\\ \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(3,2,2)& =\mathrm{T}\mathrm{a}(2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3\end{array}$

である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことが示されている。

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(4,2,2)=635318657=59^4+158^4=133^4+134^4.$

しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の差として3通りの方法であらわせる例

$25900232113758000049920=401168^4-17228^4=415137^4-248289^4=421296^4-273588^4$

を発見したテンプレート:Harv。

例

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots =n+n$

$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}(2,3,2)=27=1^2+1^2+5^2=3^2+3^2+3^2$

k	j	Taxicab(k, j,1)	Taxicab(k, j,2)	Taxicab(k, j,3)	Taxicab(k, j,4)	OEIS
2	2	2	50	325	1105	テンプレート:OEIS2C
2	3	3	27	54	129	テンプレート:OEIS2C
2	4	4	31	28	52	テンプレート:OEIS2C
3	2	2	1729	87539319	6963472309248	テンプレート:OEIS2C
3	3	3	251	5104	13896	テンプレート:OEIS2C
3	4	4	219	1225	1979	テンプレート:OEIS2C
4	2	2	635318657			テンプレート:OEIS2C
4	3	3	2673

Taxicab(k,2,2)はテンプレート:OEIS2CをTaxicab(k,3,2)はテンプレート:OEIS2Cを参照。

参考文献

• Walter Schneider: Taxicab numbers
• テンプレート:Citation

関連項目

• タクシー数
• キャブタクシー数