一般化双曲型分布のソースを表示

'''一般化双曲型分布'''（いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、{{lang-en-short|generalized hyperbolic distribution, '''GH'''}}）は、{{ill|一般化逆ガウス分布|en|Generalized inverse Gaussian distribution}}（GIG分布）による{{ill|正規分散平均混合|en|Normal variance-mean mixture}}として定義される[[連続確率分布]]で、1977年に{{ill|Barndoroff-Nielsen|en|Ole Barndorff-Nielsen}}により導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

== 一次元一般化双曲型分布 ==
=== 確率密度関数 ===
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。
:<math>\begin{align}
gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) = 
    &a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta^2 +(x-\mu )^2)^{(\lambda -\frac{1}{2} )/2} \\
    &\times K_{\lambda -1/2} (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2} )\exp (\beta (x-\mu))
\end{align}</math>
ここで、
:<math>
    a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )= 
    \frac{(\alpha^2 - \beta^2)^{\lambda/2}}{\sqrt{2\pi} \alpha^{\lambda -1/2} \delta^{\lambda} K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2})} 
</math>
:{{math|''K{{sub|λ}}''(''x'')}} は、第3種の変形[[ベッセル関数]]。
:<math>\mu</math> 位置 (location) パラメータ（[[実数]]）
:<math>\lambda</math> <!--to do-->（実数）
:<math>\alpha</math> <!--to do-->（実数）
:<math>\beta</math> 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）
:<math>\delta</math> 尺度 (scale) パラメータ（実数）
:<math>x \in (-\infty; +\infty)</math>
:{{math|''λ'' > 0}} のとき、<math>\delta \ge 0,\; |\beta |<\alpha</math>
:{{math|''λ'' {{=}} 0}} のとき、<math>\delta >0,\; |\beta |<\alpha</math>
:{{math|''λ'' < 0}} のとき、<math>\delta >0,\; |\beta | \le \alpha</math>

=== モーメント ===
本節では、以下
:<math>\begin{align}
  \zeta_u &= \delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +u)^2} \\
  \zeta   &= \zeta_{u=0} 
\end{align}</math>
とする。

==== 期待値 ====
期待値は以下の式で与えられる。
:<math>\begin{align}
E(X) &=\mu +\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
            \frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
     &=\mu +\frac{\delta^2 \beta}{\zeta}
            \frac{K_{\lambda+1} (\zeta )}{K_{\lambda} (\zeta )}
\end{align}</math>

==== 分散 ====
分散は以下の式で与えられる。
:<math>\begin{align}
    \operatorname{Var} (X) &=
         \frac{\delta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
         \frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )}{K_\lambda (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )} +\frac{\delta^2 \beta^2}{(\alpha^2 -\beta^2)}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
         - \left(
              \frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
         \right)^2 \right]
         \\
         &=
         \frac{\delta^2}{\zeta}
         \frac{K_{\lambda+1}(\zeta )}{K_\lambda(\zeta)}
       + \frac{\delta^4 \beta^2}{\zeta^2}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
            - \left(
                   \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
              \right)^2
         \right]
\end{align}</math>

=== モーメント母関数 ===
モーメント母関数は以下の式で与えられる。
:<math>\begin{align}
    M_{GH} (u) &= \exp (u \mu) \left(
                    \frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + u)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + u)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
              &= \exp(u \mu ) \left(
                \frac{\zeta}{\zeta_u}
                \right)^{\lambda}
                \frac{K_{\lambda}(\zeta_u )}
                     {K_{\lambda}(\zeta )}
\end{align}</math>

=== 特性関数 ===
特性関数は以下の式で与えられる。
:<math>\varphi (u)=\exp (i u \mu)
                \left(
                     \frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + iu)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + iu)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
</math>

== 特別なケース ==
=== {{math|''λ'' {{=}} 1}} の場合 ===
{{Ill|双曲型分布|en|Hyperbolic distribution}} (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質{{ref label|ベッセル関数の性質|1|a}}を利用する。
:確率密度関数
:<math>\begin{align}
gh(x;1,\alpha,\beta,\delta,\mu)
    &= \mathrm{hyp}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\
    &= \frac{\sqrt{\alpha^2 -\beta^2}}{2\delta \alpha K_1 (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
       \exp (-\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2} +\beta (x-\mu))
\end{align}</math>

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合は[[ラプラス分布]] Laplace(μ, 1) となる。

=== {{math|''λ'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|2}}}} の場合 ===
{{Ill|正規逆ガウス分布|en|Normal-inverse Gaussian distribution}} (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質{{ref label|ベッセル関数の性質|1|b}}を利用する。
:確率密度関数
:<math>\begin{align}
gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu) 
    &= \operatorname{nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) \\
    &= \frac{\alpha \delta}{\pi}
       \exp (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2} + \beta (x-\mu ))
       \frac{K_1 (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2})}{\sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2}}
\end{align}</math>

=== {{math|''λ'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|2}}, ''α'' {{=}} ''β'' {{=}}0}} の場合 ===
正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、[[コーシー分布]]となる。

=== {{math|''λ'' {{=}} &minus;{{sfrac|''ν''|2}}, ''α'' → {{!}}''β''{{!}}}} の場合 ===
自由度 {{mvar|ν}} の[[非心t分布|非対称なスチューデントのt分布]]となる。{{math2|(''β'' ≠ 0)}}
:<math>\begin{align}
gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu ) \\
     &= \frac{\delta^{\nu} |\beta |^{(\nu + 1)/2} K_{(v+1)/2}\left(\sqrt{(\delta^2 + (x - \mu )^2 )\beta^2} \right) \exp (\beta (x - \mu ))}
           {2^{(v-1)/2} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi} \left( \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} \right)^{(\nu +1)/2}}
\end{align}</math>

=== {{math|''λ'' {{=}} &minus;{{sfrac|''ν''|2}}, ''α'' {{=}} ''β'' {{=}} 0, ''δ'' {{=}} {{sqrt|''ν''}}}} の場合 ===
自由度 {{mvar|ν}} の（対称な）[[スチューデントのt分布]]となる。
:<math>\begin{align}
gh(x; &\lambda =\frac{-\nu}{2} ,\alpha =0,\beta =0,\delta =\sqrt{\nu} ,\mu ) \\
    &=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}{\sqrt{\pi} \delta \Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right)}
       \left[ 1+\frac{(x-\mu )^2}{\delta^2} \right]^{-\frac{\nu +1}{2}} \\
    &=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}
            {\sqrt{\pi \nu} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}
       \left( 1+\frac{(x-\mu)^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu +1}{2}}
\end{align}</math>

=== {{math|''α'' → ∞, ''δ'' → ∞, {{sfrac|''δ''|''α''}} → ''σ''{{sup|2}}}} の場合 ===
平均 {{math|''μ'' + ''βσ''{{sup|2}}}}、分散 {{math|''σ''{{sup|2}}}} の[[正規分布]]となる。

== 参考文献 ==
{{en icon}}
* {{PDFlink|[http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/15/pdf/15_1.pdf The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures]}}, Karsten Prause, Oktober 1999.
* {{PDFlink|[http://www.stochastik.uni-freiburg.de/DYNSTOCH/papers/ghlimapprox2s.pdf Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting Cases and Approximation of Processes]}}, Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
* {{PDFlink|[http://www.cls.dk/caf/wp/wp-178.pdf Absolute moments of generalized hyperbolic distributions and approximate scaling of normal inverse Gaussian Lévy-Processes]}}, Ole Eiler Barndorff-Nielsen and  Robert Stelzer, April 25, 2004.
* [http://www.rmetrics.org/files/Meielisalp2008/Presentations/Scott.pdf Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution](PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
* {{PDFlink|[http://mpra.ub.uni-muenchen.de/19081/1/MPRA_paper_19081.pdf Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution]}}, Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,
Thanh Tam, Dec 09, 2009.

{{ja icon}}
* {{PDFlink|[http://www.ism.ac.jp/editsec/toukei/pdf/50-2-165.pdf GIG分布とGH分布に関する解析]}}、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

== 脚注 ==
{{Reflist}}
{{note label|ベッセル関数の性質|1|a}}{{note label|ベッセル関数の性質|1|b}} <math>K_{-\frac{1}{2}} (x)=K_{\frac{1}{2}} (x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} x^{-\frac{1}{2}} \exp (-x)</math>

== 外部リンク ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeneralizedHyperbolicDistribution/ Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution]（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:いつはんかそうきよくかたふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]