一般化双曲型分布

一般化双曲型分布（いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:Ill（GIG分布）によるテンプレート:Illとして定義される連続確率分布で、1977年にテンプレート:Illにより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布

確率密度関数

一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

$\begin{array}{cc}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=& a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )({\delta }^2+(x-\mu {)}^2{)}^{(\lambda -\frac{1}{2})/2}\\ & \times K_{\lambda -1/2}(\alpha \sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2})\exp (\beta (x-\mu ))\end{array}$

ここで、

$a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=\frac{({\alpha }^2-{\beta }^2{)}^{\lambda /2}}{\sqrt{2\pi }{\alpha }^{\lambda -1/2}{\delta }^{\lambda }{K}_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}$

テンプレート:Math は、第3種の変形ベッセル関数。

$\mu$ 位置 (location) パラメータ（実数）

$\lambda$ （実数）

$\alpha$ （実数）

$\beta$ 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）

$\delta$ 尺度 (scale) パラメータ（実数）

$x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

テンプレート:Math のとき、$\delta \ge 0,|\beta |<\alpha$

テンプレート:Math のとき、$\delta >0,|\beta |<\alpha$

テンプレート:Math のとき、$\delta >0,|\beta |\le \alpha$

モーメント

本節では、以下

$\begin{array}{cc}{\zeta }_u& =\delta \sqrt{{\alpha }^2-(\beta +u{)}^2}\\ \zeta & ={\zeta }_{u=0}\end{array}$

とする。

期待値

期待値は以下の式で与えられる。

$\begin{array}{cc}E(X)& =\mu +\frac{\delta \beta }{\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}}\frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}\\ & =\mu +\frac{{\delta }^2\beta }{\zeta }\frac{K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}\end{array}$

分散

分散は以下の式で与えられる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\frac{\delta }{\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}}\frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}+\frac{{\delta }^2{\beta }^2}{({\alpha }^2-{\beta }^2)}[\frac{K_{\lambda +2}(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}-{\left(\frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}\right)}^2]\\ & =\frac{{\delta }^2}{\zeta }\frac{K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}+\frac{{\delta }^4{\beta }^2}{{\zeta }^2}[\frac{K_{\lambda +2}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}-{\left(\frac{K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}\right)}^2]\end{array}$

モーメント母関数

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

$\begin{array}{cc}{M}_{GH}(u)& =\exp (u\mu ){\left(\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{({\alpha }^2-(\beta +u{)}^2)}\right)}^{\lambda /2}\frac{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-(\beta +u{)}^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}\\ & =\exp (u\mu ){\left(\frac{\zeta }{{\zeta }_u}\right)}^{\lambda }\frac{K_{\lambda }({\zeta }_u)}{K_{\lambda }(\zeta )}\end{array}$

特性関数

特性関数は以下の式で与えられる。

$\phi (u)=\exp (iu\mu ){\left(\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{({\alpha }^2-(\beta +iu{)}^2)}\right)}^{\lambda /2}\frac{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-(\beta +iu{)}^2})}{K_{\lambda }(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}$

特別なケース

テンプレート:Math の場合

テンプレート:Ill (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質テンプレート:Ref labelを利用する。

確率密度関数

$\begin{array}{cc}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )& =\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}(x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\ & =\frac{\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}}{2\delta \alpha K_1(\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}\exp (-\alpha \sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2}+\beta (x-\mu ))\end{array}$

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

テンプレート:Math の場合

テンプレート:Ill (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質テンプレート:Ref labelを利用する。

確率密度関数

$\begin{array}{cc}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )& =\mathrm{nig}(x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\ & =\frac{\alpha \delta }{\pi }\exp (\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}+\beta (x-\mu ))\frac{K_1(\alpha \sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2})}{\sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2}}\end{array}$

テンプレート:Math の場合

正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

テンプレート:Math の場合

自由度 テンプレート:Mvar の非対称なスチューデントのt分布となる。テンプレート:Math2

$\begin{array}{cc}gh(x;& \lambda =\frac{-\nu }{2},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\ & =\frac{{\delta }^{\nu }|\beta {|}^{(\nu +1)/2}{K}_{(v+1)/2}\left(\sqrt{({\delta }^2+(x-\mu {)}^2){\beta }^2}\right)\exp (\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)\sqrt{\pi }{\left(\sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2}\right)}^{(\nu +1)/2}}\end{array}$

テンプレート:Math の場合

自由度 テンプレート:Mvar の（対称な）スチューデントのt分布となる。

$\begin{array}{cc}gh(x;& \lambda =\frac{-\nu }{2},\alpha =0,\beta =0,\delta =\sqrt{\nu },\mu )\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi }\delta \mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}{[1+\frac{(x-\mu {)}^2}{{\delta }^2}]}^{-\frac{\nu +1}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}{(1+\frac{(x-\mu {)}^2}{\nu })}^{-\frac{\nu +1}{2}}\end{array}$

テンプレート:Math の場合

平均 テンプレート:Math、分散 テンプレート:Math の正規分布となる。

参考文献

• テンプレート:PDFlink, Karsten Prause, Oktober 1999.
• テンプレート:PDFlink, Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
• テンプレート:PDFlink, Ole Eiler Barndorff-Nielsen and Robert Stelzer, April 25, 2004.
• Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
• テンプレート:PDFlink, Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

• テンプレート:PDFlink、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

脚注

テンプレート:Reflist テンプレート:Note labelテンプレート:Note label $K_{-\frac{1}{2}}(x)=K_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}\exp (-x)$

外部リンク

• Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）