非心t分布

テンプレート:確率分布 非心t分布（ひしんティーぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）とは、確率分布と統計学におけるスチューデントのt分布を一般化したものである。

非心な統計母数、例えば「テンプレート:Mvar の上位10パーセント値」のようなものの信頼区間を標本データだけに基いて計算するのに有用である。

非心t分布の特徴

Z は分散 テンプレート:Math、平均 0 の正規分布 に従う確率変数 、V は自由度 νのカイ二乗分布に従いかつ、Z と独立な確率変数、μは実定数としたときに、

$T=\frac{Z+\mu }{\sqrt{V/\nu }}$

が従う分布のことを「自由度ν、非心パラメーターμの非心t分布」と呼ぶ。μ=0の場合はt分布そのものである。この非心t分布においては（テンプレート:Ill等の他の多くの非心分布とは異なり）非心パラメータμは負の値であってもよい。

累積分布関数

この非心t分布の累積分布関数は、以下の式で与えられる。

$F_{\nu ,\mu }(x)=\{\begin{array}{cc}{\tilde{F}}_{\nu ,\mu }(x),& \text{if }x\ge 0;\\ 1-{\tilde{F}}_{\nu ,-\mu }(x),& \text{if }x<0,\end{array}$

ここで、

${\tilde{F}}_{\nu ,\mu }(x)=\mathrm{\Phi }(-\mu )+\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}[p_j{I}_y(j+\frac{1}{2},\frac{\nu }{2})+q_j{I}_y(j+1,\frac{\nu }{2})],$

$I_y(a,b)$ は、正則化された不完全ベータ関数,

$y=\frac{x^2}{x^2+\nu },$

$p_j=\frac{1}{j!}\exp \{-\frac{{\mu }^2}{2}\}{\left(\frac{{\mu }^2}{2}\right)}^j,$

$q_j=\frac{\mu }{\sqrt{2}\mathrm{\Gamma }(j+3/2)}\exp \{-\frac{{\mu }^2}{2}\}{\left(\frac{{\mu }^2}{2}\right)}^j,$

であり、Φ は標準正規分布の累積分布関数である。

他の表現として、以下の書き方もできる。

$F_{v,\mu }(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}(-\mu \sqrt{2}{)}^j{e}^{\frac{-{\mu }^2}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi }}I(\frac{v}{v+x^2};\frac{v}{2},\frac{j+1}{2}),& x\ge 0\\ 1-\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}(-\mu \sqrt{2}{)}^j{e}^{\frac{-{\mu }^2}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi }}I(\frac{v}{v+x^2};\frac{v}{2},\frac{j+1}{2}),& x<0\end{array}$

ここで、Γ は ガンマ関数 、I は、正則化された不完全ベータ関数である。

確率密度関数

この非心t分布の確率密度関数は

$f(t)=\frac{{\nu }^{\nu /2}{e}^{-\nu {\mu }^2/2(t^2+\nu )}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^2+\nu {)}^{(\nu +1)/2}}$

$\times \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\nu }\exp [-\frac{1}{2}{(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu }})}^2]dx$

ここで テンプレート:Math2 である。この確率密度関数の定義域は実数である。

非心t分布の平均および分散は

$\mathrm{E}\left[T\right]=\{\begin{array}{cc}\mu \sqrt{\frac{\nu }{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}& \nu >1\\ \text{Does not exist}& \nu \le 1\end{array}$

$\mathrm{Var}\left[T\right]=\{\begin{array}{cc}\frac{\nu (1+{\mu }^2)}{\nu -2}-\frac{{\mu }^2\nu }{2}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}\right)}^2& \nu >2\\ \text{Does not exist}& \nu \le 2\end{array}.$

特別の場合

もしも テンプレート:Math2 の場合、非心t分布はt分布になる。

関連する分布

• もしも テンプレート:Mvar が非心t分布にしたがう場合、テンプレート:Math2 とおくと テンプレート:Mvar はテンプレート:Illにしたがう。
• テンプレート:Mvar が非心t分布にしたがう場合、$Z=\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }T$ とおくと、テンプレート:Mvar は正規分布にしたがう。

関連事項

• カイ二乗分布
• テンプレート:Ill
• 正規分布
• t分布

外部リンク

• Eric W. Weisstein. "Noncentral Student's t-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

翻訳元

本記事は英語版ウィキペディア記事

• Noncentral chi-square_distribution. [:en] Wikipedia: Free Encyclopedia (English language), 14:14, 21 July 2007

からの抄訳に基づいて作成された。