一般化算術数列のソースを表示

<!--{{Cleanup rewrite|date=May 2009}}-->[[数学]]における'''多重算術数列''', '''一般化算術数列'''（いっぱんかさんじゅつすうれつ、{{lang-en-short|''generalized arithmetic progression''}}）または'''多次元算術数列'''は、[[自然数]]からなる有限[[多重数列]]であって、各変数に対応する成分がどれも[[算術数列]]（公差はそれぞれで異なってよい）となるものを言う。そのような多重数列全体の成す集合を'''線型集合''' (''linear set'') とも呼ぶ。

例えば、初項 {{math|17}} に {{math|3}} の倍数または {{math|5}} の倍数を繰り返し加えたものは多重算術数列を成す。式で書けば、{{math|''c'', ''d''{{sub|1}}, ''d''{{sub|2}}, …}} は自然数の定数として、{{math|''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …}} は適当な範囲 {{math|0 &le; ''k{{sub|i}}'' < ''n{{sub|i}}'' (&prod;{{sub|''i''}} ''n{{sub|i}}'' {{=}}: ''n'')}} を動く自然数変数とするとき、
: <math>x_{k_1,k_2,\dotsc,k_j} := c + k_1d_1 + k_2d_2 + \cdots + k_jd_j</math> 
が有限多重算術数列である。取りうる添字の数 {{mvar|j}} をこの多重数列の'''次元''' (''dimension'') と言う。

より一般に、集合 {{math|1=''L'' = ''L''(''C''; ''P'')}} は
: <math>x = (x_{k_1,k_2,\dotsc,k_j});\;x_{k_1,k_2,\dotsc,k_j}  = c + \sum_{i=1}^j k_i d_i\quad (c\in C;\;d_i\in P,\,k_i\in\mathbb{N})</math>
なる形の {{math|'''N'''{{sup|''n''}}}} の元 {{mvar|x}} 全体の成す集合とする。{{mvar|L}} が'''線型集合'''であるとは、{{mvar|C}} がただ一つの元からなり、かつ {{mvar|P}} が有限となるときに言う。

{{math|'''N'''{{sup|''n''}}}} の部分集合が'''半線型集合''' (''{{vanc|semilinear set}}'') であるとは、それが有限個の線型集合の交わりに書けるときに言う。半線型集合の全体はちょうど[[プレスバーガー算術]]における定義可能 (definable) な集合の全体に一致する<ref>{{cite journal|last1=Ginsburg|first1=Seymour|last2=Spanier|first2=Edwin Henry|title=Semigroups, Presburger Formulas, and Languages|journal=Pacific Journal of Mathematics|date=1966|volume=16|pages=285–296}}</ref>。

== 関連項目 ==
* {{ill2|フレイマンの定理|en|Freiman's theorem}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*{{cite book| last=Nathanson | first=Melvyn B. | year=1996 | title=Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets | volume=165 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=Springer | isbn=0-387-94655-1 | zbl=0859.11003 }}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=MultidimensionalArithmeticProgression|title=multidimensional arithmetic progression}}
* [https://oeis.org/wiki/Generalized_arithmetic_progressions Generalized arithmetic progressions] in OEIS Wiki

{{DEFAULTSORT:いつはんかさんしゆつすうれつ}}
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[[Category:数学に関する記事]]