一般化算術数列

数学における多重算術数列, 一般化算術数列（いっぱんかさんじゅつすうれつ、テンプレート:Lang-en-short）または多次元算術数列は、自然数からなる有限多重数列であって、各変数に対応する成分がどれも算術数列（公差はそれぞれで異なってよい）となるものを言う。そのような多重数列全体の成す集合を線型集合 (linear set) とも呼ぶ。

例えば、初項 テンプレート:Math に テンプレート:Math の倍数または テンプレート:Math の倍数を繰り返し加えたものは多重算術数列を成す。式で書けば、テンプレート:Math は自然数の定数として、テンプレート:Math は適当な範囲 テンプレート:Math を動く自然数変数とするとき、

$x_{k_1,k_2,\dots ,k_j}:=c+k_1{d}_1+k_2{d}_2+\cdots +k_j{d}_j$

が有限多重算術数列である。取りうる添字の数 テンプレート:Mvar をこの多重数列の次元 (dimension) と言う。

より一般に、集合 テンプレート:Math は

$x=(x_{k_1,k_2,\dots ,k_j});x_{k_1,k_2,\dots ,k_j}=c+\sum _{i=1}^j{k}_i{d}_i(c\in C;d_i\in P,k_i\in \mathbb{N})$

なる形の テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar 全体の成す集合とする。テンプレート:Mvar が線型集合であるとは、テンプレート:Mvar がただ一つの元からなり、かつ テンプレート:Mvar が有限となるときに言う。

テンプレート:Math の部分集合が半線型集合 (テンプレート:Vanc) であるとは、それが有限個の線型集合の交わりに書けるときに言う。半線型集合の全体はちょうどプレスバーガー算術における定義可能 (definable) な集合の全体に一致する。

関連項目

• テンプレート:Ill2

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath
• Generalized arithmetic progressions in OEIS Wiki