七円定理のソースを表示


[[ファイル:Teorema_de_les_set_circumferències.svg|サムネイル|257x257px|七円定理]]
[[幾何学]]における、'''七円定理'''（なな（しち）えんていり、{{Lang-en|seven circles theorem}}）は[[ユークリッド平面]]上の[[7]]つの[[円 (数学)|円]]に関する定理である。 6つの円{{Math|''O''{{sub|1}},''O''{{sub|2}},''O''{{sub|3}},''O''{{sub|4}},''O''{{sub|5}},''O''{{sub|6}}}}がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ[[接する|接し]]、また6つの円すべてが1つの円{{Math|''O''{{sub|7}}}}と（内部または外部で）接しているとする。{{Math|''O''{{sub|7}}}}との[[接点 (数学)|接点]]と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）と{{Math|''O''{{sub|7}}}}の接点を結んだ直線延べ3本は[[共点]]である。[[1974年]]、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、[[初等幾何学]]的な証明が発見された。 

== 証明 ==
[[スタンレー・ラビノヴィッツ]]（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

=== 補題 ===
以下の[[補題]]を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の[[弦 (数学)|弦]]{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|4}},''A''{{sub|2}}''A''{{sub|5}},''A''{{sub|3}}''A''{{sub|6}}}}が一点{{Mvar|P}}で交わることと、{{Math|1=''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}}・''A''{{sub|3}}''A''{{sub|4}}・''A''{{sub|5}}''A''{{sub|6}} = ''A''{{sub|2}}''A''{{sub|3}}・''A''{{sub|4}}''A''{{sub|5}}・''A''{{sub|6}}''A''{{sub|1}}}}が成り立つことは[[同値]]。

[[円周角の定理]]と[[三角形]]の[[相似 (幾何学)|相似]]から

<math>\frac{A_{1}A_{2}}{A_{4}A_{5}}=\frac{A_{1}P}{A_{5}P},
\frac{A_{3}A_{4}}{A_{6}A_{1}}=\frac{A_{3}P}{A_{1}P},
\frac{A_{5}A_{6}}{A_{2}A_{3}}=\frac{A_{5}P}{A_{3}P}</math>

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心を{{Math|''C''{{sub|1}},''C''{{sub|2}}}}、[[半径]]を{{Math|''r''{{sub|1}},''r''{{sub|2}}}}とする円{{Math|''O''{{sub|1}},''O''{{sub|2}}}}が{{Mvar|M}}で外接し、また中心{{Mvar|C}}、半径{{Mvar|R}}の円{{Mvar|O}}とそれぞれ{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}}}}で接するとき

<math>\frac{{A_{1}A_{2}}^2}{4R^2}=\frac{r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}</math>

が成立する。

{{Math|''A''{{sub|1}}''M'',''A''{{sub|2}}''M''}}と円{{Mvar|O}}の二つ目の交点を{{Mvar|D,E}}とする。{{Math|△''C''{{sub|1}}''A''{{sub|1}}''M'',△''CA''{{sub|1}}''D''}}は一つの角を共有し、また[[二等辺三角形]]なので、相似で{{Math|''C''{{sub|1}}''M''//''CD''}}が従う。同様に、{{Math|''C''{{sub|2}}''M''//''CE''}}が従い、{{Math|''C''{{sub|1}},''C''{{sub|2}}''M''}}の[[共線]]より{{Mvar|D,C,E}}は共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

<math>\frac{A_{1}A_{2}}{DE}=\frac{A_{1}M}{ME}=\frac{A_{2}M}{MD}</math>

である。{{Mvar|D,C,E}}の共線より{{Mvar|DE}}は{{Mvar|O}}の[[直径]]であり、

<math>\frac{{A_{1}A_{2}}^2}{4R^2}=\frac{{A_{1}A_{2}}^2}{{DE}^2}=\frac{A_{1}M\cdot A_{2}M}{ME\cdot MD}=\frac{A_{1}M\cdot A_{2}M}{MD\cdot ME}=\frac{r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}</math>

と変形して、示される。

=== 本題 ===
6円{{Math|1=''O''{{sub|''i''}} ,  ''i''={1,2,...,6<nowiki>}</nowiki>}}と{{Math|''O''{{sub|7}}}}の接点をそれぞれ{{Math|''A''{{sub|''i''}}}}とする。二つ目の補題より

<math>A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}=8R^3\sqrt{\prod_{i=1}^{6}\frac{r_{i}}{R-{r_{i}}}}=A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{6}A_{1}</math>

なので、一つ目の補題より、{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|4}},''A''{{sub|2}}''A''{{sub|5}},''A''{{sub|3}}''A''{{sub|6}}}}は一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母が{{Math|''R''+''r''{{sub|''i''}}}}となるだけで、同様に証明できる。

== 関連項目 ==

* [[五円定理]]
* [[六円定理]]
* [[八円定理]]
* [[六円定理|九円定理]]
* [[シュタイナーの円鎖|シュタイナー円鎖]]
* [[ラムゼーの定理]]
* [[ミケルの定理]]
* {{仮リンク|ダオの六円定理|nl|Stelling van Dao over zes cirkelmiddelpunten|label=}}
* [[クリフォードの定理]]
* [[ブリアンションの定理]]

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|last=Cundy|first=H. Martyn|year=1978|title=The seven-circles theorem|journal=The Mathematical Gazette|volume=62|issue=421|pages=200–203|doi=10.2307/3616692|JSTOR=3616692}}
* {{Cite book|和書 |last=Evelyn |first=C. J. A. |last2=Money-Coutts |first2=G. B. |last3=Tyrrell |first3=J. A. |year=1974 |title=The Seven Circles Theorem and Other New Theorems |publisher=Stacey International |location=London |isbn=978-0-9503304-0-2 |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/seven-circles-theorem-and-other-new-theorems-by-c-j-a-evelyn-g-b-moneycoutts-and-j-a-tyrrell-pp-viii-68-280-1974-sbn-0-950-3304-ox-stacey-international/0D651BCF5B021542D4A4BAA4FCA3BDA1}}
* {{Cite book |last=Wells |first=D. |year=1991 |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/227 |publisher=Penguin Books |location=New York |isbn=0-14-011813-6 |pages=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/227 227&ndash;228]}}
* {{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/1911.00161 |title=A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem |access-date=2024/6/30 |publisher=[[arxiv]]}}
* {{Cite journal|author=Adam Brown|year=2003|title=A Connection between Brianchon's Theorem and the Seven Circles Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/3621313|journal=The Mathematical Gazette|issue=Vol 87|pages=569-572}}
* [https://www.researchgate.net/publication/268712355_The_seven_circles_theorem the Seven Circles Theorem] by Stanley Rabinowitz, with a proof based on Ceva's theorems.

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Seven Circles Theorem|id=SevenCirclesTheorem}}
* [https://www.geogebra.org/m/YxfFVegt Interactive Applet] by Michael Borcherds showing The Seven Circles Theorem made using [http://www.geogebra.org/webstart/ GeoGebra].
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SevenCirclesTheorem.shtml Seven Circles Theorem] at Cut-the-knot.
{{デフォルトソート:ななえんていり}}
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]