七円定理

七円定理

幾何学における、七円定理（なな（しち）えんていり、テンプレート:Lang-en）はユークリッド平面上の7つの円に関する定理である。 6つの円テンプレート:Mathがそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円テンプレート:Mathと（内部または外部で）接しているとする。テンプレート:Mathとの接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）とテンプレート:Mathの接点を結んだ直線延べ3本は共点である。1974年、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、初等幾何学的な証明が発見された。

証明

スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

補題

以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦テンプレート:Mathが一点テンプレート:Mvarで交わることと、テンプレート:Mathが成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

$\frac{A_1{A}_2}{A_4{A}_5}=\frac{A_{1}P}{A_{5}P},\frac{A_3{A}_4}{A_6{A}_1}=\frac{A_{3}P}{A_{1}P},\frac{A_5{A}_6}{A_2{A}_3}=\frac{A_{5}P}{A_{3}P}$

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心をテンプレート:Math、半径をテンプレート:Mathとする円テンプレート:Mathがテンプレート:Mvarで外接し、また中心テンプレート:Mvar、半径テンプレート:Mvarの円テンプレート:Mvarとそれぞれテンプレート:Mathで接するとき

$\frac{{A_1{A}_2}^2}{4R^2}=\frac{r_1{r}_2}{(R-r_1)(R-r_2)}$

が成立する。

テンプレート:Mathと円テンプレート:Mvarの二つ目の交点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mathは一つの角を共有し、また二等辺三角形なので、相似でテンプレート:Mathが従う。同様に、テンプレート:Mathが従い、テンプレート:Mathの共線よりテンプレート:Mvarは共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

$\frac{A_1{A}_2}{DE}=\frac{A_{1}M}{ME}=\frac{A_{2}M}{MD}$

である。テンプレート:Mvarの共線よりテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの直径であり、

$\frac{{A_1{A}_2}^2}{4R^2}=\frac{{A_1{A}_2}^2}{{DE}^2}=\frac{A_{1}M\cdot A_{2}M}{ME\cdot MD}=\frac{A_{1}M\cdot A_{2}M}{MD\cdot ME}=\frac{r_1{r}_2}{(R-r_1)(R-r_2)}$

と変形して、示される。

本題

6円テンプレート:Mathとテンプレート:Mathの接点をそれぞれテンプレート:Mathとする。二つ目の補題より

$A_1{A}_2\cdot A_3{A}_4\cdot A_5{A}_6=8R^3\sqrt{\prod _{i=1}^6\frac{r_i}{R-r_i}}=A_2{A}_3\cdot A_4{A}_5\cdot A_6{A}_1$

なので、一つ目の補題より、テンプレート:Mathは一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母がテンプレート:Mathとなるだけで、同様に証明できる。

関連項目

• 五円定理
• 六円定理
• 八円定理
• 九円定理
• シュタイナー円鎖
• ラムゼーの定理
• ミケルの定理
• テンプレート:仮リンク
• クリフォードの定理
• ブリアンションの定理

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite web
• テンプレート:Cite journal
• the Seven Circles Theorem by Stanley Rabinowitz, with a proof based on Ceva's theorems.

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• Interactive Applet by Michael Borcherds showing The Seven Circles Theorem made using GeoGebra.
• Seven Circles Theorem at Cut-the-knot.