六円定理

最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が内接円になっている。

幾何学で、六円定理（ろくえんていり、テンプレート:Lang-en）は、三角形と6つの円に関する定理である。テンプレート:Mathについてテンプレート:Mathに接する円テンプレート:Mathをつくる。テンプレート:Mathに接する円テンプレート:Math、テンプレート:Mathに接する円テンプレート:Mathと、循環的にテンプレート:Mathまで定義したとき、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathは接する（chainが閉じる）。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された。

三角形の辺を円弧に変えたもの（円弧三角形）でも同様の定理がなりたつ（九円定理）。また多角形へも一般化されている（その場合周期が異なる）。

円の半径

半周長が1であるテンプレート:Mathについて、線分テンプレート:Mathとテンプレート:Mathに接する円をテンプレート:Mathとする（テンプレート:Math）。また、テンプレート:Mathと、その対辺と内接円の接点の距離をテンプレート:Mathとして

$a_i={\cos }^2({\alpha }_i)(0<{\alpha }_i<\frac{\pi }{2})$

とする。すると

${\cos }^2({\alpha }_1)+{\cos }^2({\alpha }_2)+{\cos }^2({\alpha }_3)=1$

を得る。このとき内接円の半径テンプレート:Mathについて

$r=\cos ({\alpha }_1)\cos ({\alpha }_2)\cos ({\alpha }_3)$

が成り立つ。テンプレート:Mathとテンプレート:Mathの接点と、テンプレート:Mathの距離をテンプレート:Mathとして

$x_i={\cos }^2({\phi }_i)(0<{\phi }_i<\frac{\pi }{2})$

とすると、

${\phi }_i=\pi -{\phi }_{i-1}-{\alpha }_{i+1}$

が成り立つ。このことと円の中心が角の二等分線上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、

${\phi }_7={\phi }_1$

が分かるので、連鎖が6であることが分かる。

証明

s=1とした場合。

テンプレート:Mathとテンプレート:Mathがそれぞれテンプレート:Mathで接しているとする。また、テンプレート:Mathの半径をテンプレート:Mathとすると、

$A_1{D}_1={\cos }^2{\phi }_1,D_1{D}_2=2\sqrt{r_1{r}_2},A_2{D}_2={\cos }^2{\phi }_2$

また、テンプレート:仮リンクより

$\frac{r}{r_i}=\frac{{\cos }^2{\alpha }_i}{{\cos }^2{\phi }_i}$

なので

$\sqrt{r_1{r}_2}=\cos {\alpha }_3\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2$

である。これを用いれば

$A_1{A}_2={\cos }^2{\alpha }_1+{\cos }^2{\alpha }_2=1-{\cos }^2{\alpha }_3={\cos }^2{\phi }_1+2\cos {\alpha }_3\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2+{\cos }^2{\phi }_2$

を得る。この式をテンプレート:Mathについて解くと

$\cos {\phi }_2=-\cos {\phi }_1\cos {\alpha }_3\pm \sin {\phi }_1\sin {\alpha }_3=\cos (\pi -{\phi }_1\mp {\alpha }_3)$

となる。テンプレート:Mathに注意すれば

${\phi }_2=\pi -{\phi }_1-{\alpha }_3$

となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される。

特別な場合

内接円

最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

${\phi }_2=\pi -{\alpha }_1-{\alpha }_3,{\phi }_4=\pi -{\alpha }_3-{\alpha }_2,{\phi }_6=\pi -{\alpha }_2-{\alpha }_1$

が成り立つので、

$\frac{r_2}{r}=\frac{{\cos }^2({\alpha }_1+{\alpha }_3)}{{\cos }^2{\alpha }_2},\frac{r_4}{r}=\frac{{\cos }^2({\alpha }_3+{\alpha }_2)}{{\cos }^2{\alpha }_1},\frac{r_6}{r}=\frac{{\cos }^2({\alpha }_2+{\alpha }_1)}{{\cos }^2{\alpha }_3}$

が従う。これは1814年の算額の書物や1781年の西洋算法でも示されている。他に1730年、1817年のテンプレート:仮リンクにも書かれている。

The Ladies' Diaryでは以下の形で紹介されている。

$r=\sqrt{r_2{r}_4}+\sqrt{r_4{r}_6}+\sqrt{r_6{r}_2}$

マルファッティの円

4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に

$\begin{array}{c}{\phi }_1={\phi }_4=\frac{1}{2}(\pi +{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3)\\ {\phi }_2={\phi }_5=\frac{1}{2}(\pi -{\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3)\\ {\phi }_3={\phi }_6=\frac{1}{2}(\pi -{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3)\end{array}$

が従う。

関連項目

• アポロニウスの問題
• テンプレート:仮リンク
• ポンスレの閉形定理
• フォードの円
• ミケルの定理
• クリフォードの定理
• 五円定理
• 七円定理
• 八円定理
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:MathWorld