七十二角形のソースを表示

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'''七十二角形'''（ななじゅうにかくけい、ななじゅうにかっけい、heptacontadigon）は、[[多角形]]の一つで、72本の[[辺]]と72個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は12600°、[[対角線]]の本数は2484本である。

== 正七十二角形 ==
正七十二角形においては、中心角と外角は5°で、内角は175°となる。一辺の長さが a の正七十二角形の面積 S は
:<math>S = 18a^2 \cot \frac{\pi}{72}</math>

<math>\sin (2\pi/72)</math>を平方根と立方根で表すと、
:<math>\sin\frac{2\pi}{72} = \frac{2 - 2\sqrt{3}\mathrm{i}}{2 \sqrt[3]{2(\sqrt{2} - \sqrt{6})} - 2-\sqrt{3}} - \frac{(1 + \sqrt{3}\mathrm{i}) \sqrt[3]{2(\sqrt{2} - \sqrt{6})} -2-\sqrt{3}}{8}\,</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{72}+2\cos\frac{50\pi}{72}+2\cos\frac{46\pi}{72}=0 \\
2\cos\frac{14\pi}{72}+2\cos\frac{62\pi}{72}+2\cos\frac{34\pi}{72}=0 \\
2\cos\frac{10\pi}{72}+2\cos\frac{38\pi}{72}+2\cos\frac{58\pi}{72}=0 \\
2\cos\frac{70\pi}{72}+2\cos\frac{22\pi}{72}+2\cos\frac{26\pi}{72}=0 \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{72} \cdot 2\cos\frac{50\pi}{72}+2\cos\frac{50\pi}{72} \cdot 2\cos\frac{46\pi}{72}+2\cos\frac{46\pi}{72} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{72}= -3 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{72} \cdot 2\cos\frac{50\pi}{72} \cdot 2\cos\frac{46\pi}{72} = 2\cos\frac{2\pi}{24}
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-3u-2\cos\frac{2\pi}{24}=0
</math>

三次方程式を解いて、整理すると<math>\cos (2\pi/72)</math>が求められる。
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{72} =& \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{24}+i\sin\frac{2\pi}{24}}+\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{24}-i\sin\frac{2\pi}{24}} \\
4\cos\frac{2\pi}{72} =& \sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{24}+i8\sin\frac{2\pi}{24}}+\sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{24}-i8\sin\frac{2\pi}{24}} \\
4\cos\frac{2\pi}{72} =& \sqrt[3]{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i\cdot2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\sqrt[3]{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})-i\cdot2(\sqrt{6}-\sqrt{2})} \\
\end{align}</math>

:<math>
\cos\frac{2\pi}{72} = \frac{1}{4}\sqrt[3]{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i\cdot2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})-i\cdot2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}
</math>

=== 正七十二角形の作図 ===
正七十二角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正七十二角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[九角形]]
* [[十二角形]]
* [[十八角形]]
* [[二十四角形]]
* [[三十六角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ななしゆうにかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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