七十二角形

七十二角形（ななじゅうにかくけい、ななじゅうにかっけい、heptacontadigon）は、多角形の一つで、72本の辺と72個の頂点を持つ図形である。内角の和は12600°、対角線の本数は2484本である。

正七十二角形

正七十二角形においては、中心角と外角は5°で、内角は175°となる。一辺の長さが a の正七十二角形の面積 S は

S = 18 a^{2} \cot \frac{π}{72}

$\sin (2 π / 72)$ を平方根と立方根で表すと、

\sin \frac{2 π}{72} = \frac{2 - 2 \sqrt{3} i}{2 \sqrt[3]{2 (\sqrt{2} - \sqrt{6})} - 2 - \sqrt{3}} - \frac{(1 + \sqrt{3} i) \sqrt[3]{2 (\sqrt{2} - \sqrt{6})} - 2 - \sqrt{3}}{8}

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{72} + 2 \cos \frac{50 π}{72} + 2 \cos \frac{46 π}{72} = 0 \\ 2 \cos \frac{14 π}{72} + 2 \cos \frac{62 π}{72} + 2 \cos \frac{34 π}{72} = 0 \\ 2 \cos \frac{10 π}{72} + 2 \cos \frac{38 π}{72} + 2 \cos \frac{58 π}{72} = 0 \\ 2 \cos \frac{70 π}{72} + 2 \cos \frac{22 π}{72} + 2 \cos \frac{26 π}{72} = 0 \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{72} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{72} + 2 \cos \frac{50 π}{72} \cdot 2 \cos \frac{46 π}{72} + 2 \cos \frac{46 π}{72} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{72} = - 3 \\ 2 \cos \frac{2 π}{72} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{72} \cdot 2 \cos \frac{46 π}{72} = 2 \cos \frac{2 π}{24} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - 3 u - 2 \cos \frac{2 π}{24} = 0

三次方程式を解いて、整理すると $\cos (2 π / 72)$ が求められる。

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{72} = & \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{24} + i \sin \frac{2 π}{24}} + \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{24} - i \sin \frac{2 π}{24}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{72} = & \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{24} + i 8 \sin \frac{2 π}{24}} + \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{24} - i 8 \sin \frac{2 π}{24}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{72} = & \sqrt[3]{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i \cdot 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})} + \sqrt[3]{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - i \cdot 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})} \end{matrix}

\cos \frac{2 π}{72} = \frac{1}{4} \sqrt[3]{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i \cdot 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})} + \frac{1}{4} \sqrt[3]{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - i \cdot 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}

正七十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正七十二角形は折紙により作図可能である。