九角形

九角形（きゅうかくけい、きゅうかっけい、くかくけい、くかっけい、英：nonagon、enneagon）は、多角形の一つで、9本の辺と9個の頂点を持つ図形である。内角の和は1260°、対角線の本数は27本である。

正九角形

正九角形においては、中心角と外角は40 °で、内角は140°となる。一辺の長さがaの正九角形の面積Sは、

S = \frac{9}{4} a^{2} \cot \frac{π}{9} ≃ 6.18182 a^{2}

となる。

$\cos (2 π / 9)$ を平方根と立方根で表すと^[1]、

\cos \frac{2 π}{9} = \frac{\sqrt[3]{- 4 + 4 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{- 4 - 4 \sqrt{3} i}}{4} = \frac{\sqrt[3]{- 1 + \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{- 1 - \sqrt{3} i}}{\sqrt[3]{2^{4}}} = \frac{\sqrt[3]{\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}} + \sqrt[3]{\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}}}{2} = \frac{\sqrt[3]{ω} + \sqrt[3]{ω^{2}}}{2} = 0.766044443 . . .

正九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正九角形の頂点を二つおきに線で結ぶと正三角形ができる。

ネウシス作図または角の三等分ツールを使うことにより作図可能である。