七十八角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 78.svg|300px|サムネイル|右|正七十八角形]]
'''七十八角形'''（ななじゅうはちかくけい、ななじゅうはちかっけい、heptacontaoctagon）は、[[多角形]]の一つで、78本の[[辺]]と78個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は13680°、[[対角線]]の本数は2925本である。

== 正七十八角形 ==
正七十八角形においては、中心角と外角は4.615…°で、内角は175.384…°となる。一辺の長さが a の正七十八角形の面積 S は
:<math>S = \frac{78}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{78} \simeq 483.88751 a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{78}+2\cos\frac{46\pi}{78}+2\cos\frac{34\pi}{78}=\frac14 \left( -1-\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_1 \\
2\cos\frac{22\pi}{78}+2\cos\frac{38\pi}{78}+2\cos\frac{62\pi}{78}=\frac14 \left( -1+\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_2 \\
2\cos\frac{70\pi}{78}+2\cos\frac{50\pi}{78}+2\cos\frac{58\pi}{78}=\frac14 \left( -1-\sqrt{13}-\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)} \right) = x_3 \\
2\cos\frac{10\pi}{78}+2\cos\frac{74\pi}{78}+2\cos\frac{14\pi}{78}=\frac14 \left( -1+\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right) = x_4 \\
\end{align}</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
 \left( 2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26}+6(x_4-2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_2+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right) \\
=& 3x_1+\frac{1+\sqrt{13}}{2}+6(x_2-2)+ 3\omega \left( 2x_1+x_3+\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_2+\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right) \\
=& \tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26}+6(x_4-2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \right) \\
=& 3x_1+\frac{1+\sqrt{13}}{2}+6(x_2-2)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+x_3+\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_2+\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right) \\
=& \tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8} \\
\end{align}</math>
</div>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78}=&\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}} \\
2\cos\frac{2\pi}{78} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{46\pi}{78} + \omega \cdot 2\cos\frac{34\pi}{78}=&\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}} \\
\end{align}</math>
よって
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{78}=& \frac16 \left(\tfrac{-1-\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}}{4}+\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}-3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}}+\sqrt[3]{\tfrac{-104+34\sqrt{13}-3\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}+15\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)}+3\sqrt{3}\left( 2\sqrt{13}+\sqrt{6\left( 13+3\sqrt{13} \right)}-\sqrt{6\left( 13-3\sqrt{13} \right)} \right)i}{8}} \right)\\
\end{align}</math>
</div>

=== 正七十八角形の作図 ===
正七十八角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正七十八角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十三角形]]
* [[二十六角形]]
* [[三十九角形]]
* [[五十二角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ななしゆうはちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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