七十八角形

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正七十八角形

七十八角形（ななじゅうはちかくけい、ななじゅうはちかっけい、heptacontaoctagon）は、多角形の一つで、78本の辺と78個の頂点を持つ図形である。内角の和は13680°、対角線の本数は2925本である。

正七十八角形

正七十八角形においては、中心角と外角は4.615…°で、内角は175.384…°となる。一辺の長さが a の正七十八角形の面積 S は

S=784a2cot⁡π78≃483.88751a2
関係式
2cos⁡2π78+2cos⁡46π78+2cos⁡34π78=14(−1−13+6(13+313))=x12cos⁡22π78+2cos⁡38π78+2cos⁡62π78=14(−1+13−6(13−313))=x22cos⁡70π78+2cos⁡50π78+2cos⁡58π78=14(−1−13−6(13+313))=x32cos⁡10π78+2cos⁡74π78+2cos⁡14π78=14(−1+13+6(13−313))=x4

さらに、以下のような関係式が得られる。

(2cos⁡2π78+ω⋅2cos⁡46π78+ω2⋅2cos⁡34π78)3=3x1+2cos⁡2π26+2cos⁡6π26+2cos⁡18π26+6(x4−2)+3ω(2x1+x3+2cos⁡14π26+2cos⁡10π26+2cos⁡22π26)+3ω2(2x1+x2+2cos⁡14π26+2cos⁡10π26+2cos⁡22π26)=3x1+1+132+6(x2−2)+3ω(2x1+x3+1−132)+3ω2(2x1+x2+1−132)=−104+3413−36(13+313)+156(13−313)−33(213+6(13+313)−6(13−313))i8(2cos⁡2π78+ω2⋅2cos⁡46π78+ω⋅2cos⁡34π78)3=3x1+2cos⁡2π26+2cos⁡6π26+2cos⁡18π26+6(x4−2)+3ω2(2x1+x3+2cos⁡14π26+2cos⁡10π26+2cos⁡22π26)+3ω(2x1+x4+2cos⁡14π26+2cos⁡10π26+2cos⁡22π26)=3x1+1+132+6(x2−2)+3ω2(2x1+x3+1−132)+3ω(2x1+x2+1−132)=−104+3413−36(13+313)+156(13−313)+33(213+6(13+313)−6(13−313))i8

両辺の立方根を取ると

2cos⁡2π78+ω⋅2cos⁡46π78+ω2⋅2cos⁡34π78=−104+3413−36(13+313)+156(13−313)−33(213+6(13+313)−6(13−313))i832cos⁡2π78+ω2⋅2cos⁡46π78+ω⋅2cos⁡34π78=−104+3413−36(13+313)+156(13−313)+33(213+6(13+313)−6(13−313))i83

よって

cos⁡2π78=16(−1−13+6(13+313)4+−104+3413−36(13+313)+156(13−313)−33(213+6(13+313)−6(13−313))i83+−104+3413−36(13+313)+156(13−313)+33(213+6(13+313)−6(13−313))i83)

正七十八角形の作図

正七十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正七十八角形は折紙により作図可能である。

脚注

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関連項目

外部リンク

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