十三角形

十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

正十三角形

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

S = \frac{13}{4} a^{2} \cot \frac{π}{13} ≃ 13.1858 a^{2}

となる。

$\cos (2 π / 13)$ を平方根と立方根で表すと^[1]、

\cos \frac{2 π}{13} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{12} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{26 - 5 \sqrt{13} + 3 i \sqrt{39}}{2}} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{26 - 5 \sqrt{13} - 3 i \sqrt{39}}{2}} = 0.8854560 . . .

\cos \frac{2 π}{13} = \frac{\sqrt{13} - 1 + \sqrt[3]{104 - 20 \sqrt{13} - 12 i \sqrt{39}} + \sqrt[3]{104 - 20 \sqrt{13} + 12 i \sqrt{39}}}{12}

以下のようにα、βを置く

\begin{matrix} α = & 2 \cos \frac{2 π}{13} + 2 \cos \frac{8 π}{13} + 2 \cos \frac{6 π}{13} \\ β = & 2 \cos \frac{4 π}{13} + 2 \cos \frac{10 π}{13} + 2 \cos \frac{12 π}{13} \end{matrix}

和と差の平方を求めると

\begin{matrix} α + β = - 1 \\ {(α - β)}^{2} = 13 \end{matrix}

α-βを求めると（α > βより）

α - β = \sqrt{13}

よって

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{13} + 2 \cos \frac{8 π}{13} + 2 \cos \frac{6 π}{13} = & \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2} \\ 2 \cos \frac{4 π}{13} + 2 \cos \frac{10 π}{13} + 2 \cos \frac{12 π}{13} = & \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2} \end{matrix}

一方

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{13} + ω \cdot 2 \cos \frac{8 π}{13} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{13})}^{3} = & - 2 + 2 \sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 3 ω \cdot (- 2) + 3 ω^{2} \cdot (- 2 + \sqrt{13}) = \frac{26 - 5 \sqrt{13} - 3 \sqrt{39} i}{2} \\ {(2 \cos \frac{2 π}{13} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{8 π}{13} + ω \cdot 2 \cos \frac{6 π}{13})}^{3} = & - 2 + 2 \sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 3 ω^{2} \cdot (- 2) + 3 ω \cdot (- 2 + \sqrt{13}) = \frac{26 - 5 \sqrt{13} + 3 \sqrt{39} i}{2} \end{matrix}

両辺の立方根を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{13} + ω \cdot 2 \cos \frac{8 π}{13} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{13} = & \sqrt[3]{\frac{26 - 5 \sqrt{13} - 3 \sqrt{39} i}{2}} \\ 2 \cos \frac{2 π}{13} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{8 π}{13} + ω \cdot 2 \cos \frac{6 π}{13} = & \sqrt[3]{\frac{26 - 5 \sqrt{13} + 3 \sqrt{39} i}{2}} \end{matrix}

正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。

正十三角形は折紙により作図可能である^[2]。

チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。