三十九角形

正三十九角形

三十九角形（さんじゅうきゅうかくけい、さんじゅうきゅうかっけい、triacontaenneagon）は、多角形の一つで、39本の辺と39個の頂点を持つ図形である。内角の和は6660°、対角線の本数は702本である。

正三十九角形

正三十九角形においては、中心角と外角は9.23…°で、内角は170.769…°となる。一辺の長さが a の正三十九角形の面積 S は

$S=\frac{39}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{39}\simeq 120.77542a^2$

$\cos (2\pi /39)$を平方根と立方根で表すと

$\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{39}=& \cos (\frac{2\pi }{3}-\frac{8\pi }{13})\\ =& \cos \frac{2\pi }{3}\cos \frac{8\pi }{13}+\sin \frac{2\pi }{3}\sin \frac{8\pi }{13}\\ =& -\frac{1}{2}\cos \frac{8\pi }{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{8\pi }{13}\\ =& -\frac{1}{2}\cos \frac{8\pi }{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{1+\cos \frac{16\pi }{13}}{2}}\\ =& -\frac{1}{24}\cdot (12\cos \frac{8\pi }{13})+\frac{\sqrt{3}}{24}\sqrt{72+72\cos \frac{10\pi }{13}}\\ =& -\frac{1}{24}(\sqrt{13}-1+\omega \sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}}+{\omega }^2\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}})\\ & +\frac{\sqrt{3}}{24}\sqrt{72+6\cdot (12\cos \frac{10\pi }{13})}\\ =& -\frac{1}{24}(\sqrt{13}-1+\omega \sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}}+{\omega }^2\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}})\\ & +\frac{\sqrt{3}}{24}\sqrt{72+6(-\sqrt{13}-1+{\omega }^2\sqrt[3]{104+20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}}+\omega \sqrt[3]{104+20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}})}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{39}=& \cos \frac{2\pi }{3\cdot 13}\\ =& \frac{1}{2}\cdot (\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{13}+i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}}+\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{13}-i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}})\\ =& \frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{13}+i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\cos \frac{2\pi }{13}-i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}}\\ =& \frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{12}(\sqrt{13}-1+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}})+i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}}\\ & +\frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{12}(\sqrt{13}-1+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}})-i\cdot \sin \frac{2\pi }{13}}\end{array}$

関係式

$\begin{array}{c}2\cos \frac{2\pi }{39}+2\cos \frac{32\pi }{39}+2\cos \frac{34\pi }{39}=\frac{1}{4}(1-\sqrt{13}-\sqrt{6(13-3\sqrt{13})})=x_1\\ 2\cos \frac{4\pi }{39}+2\cos \frac{14\pi }{39}+2\cos \frac{10\pi }{39}=\frac{1}{4}(1+\sqrt{13}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})=x_2\\ 2\cos \frac{8\pi }{39}+2\cos \frac{28\pi }{39}+2\cos \frac{20\pi }{39}=\frac{1}{4}(1-\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})})=x_3\\ 2\cos \frac{16\pi }{39}+2\cos \frac{22\pi }{39}+2\cos \frac{38\pi }{39}=\frac{1}{4}(1+\sqrt{13}-\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})=x_4\\ \end{array}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

$\begin{array}{cc}{(2\cos \frac{2\pi }{39}+\omega \cdot 2\cos \frac{32\pi }{39}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{34\pi }{39})}^3=& 3x_1+2\cos \frac{2\pi }{13}+2\cos \frac{8\pi }{13}+2\cos \frac{6\pi }{13}+6(x_2+2)+3\omega (2x_1+x_3+2\cos \frac{4\pi }{13}+2\cos \frac{10\pi }{13}+2\cos \frac{12\pi }{13})+3{\omega }^2(2x_1+x_4+2\cos \frac{4\pi }{13}+2\cos \frac{10\pi }{13}+2\cos \frac{12\pi }{13})\\ =& 3x_1+\frac{-1+\sqrt{13}}{2}+6(x_2+2)+3\omega (2x_1+x_3+\frac{-1-\sqrt{13}}{2})+3{\omega }^2(2x_1+x_4+\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\\ =& \frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}+3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}\\ {(2\cos \frac{2\pi }{39}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{32\pi }{39}+\omega \cdot 2\cos \frac{34\pi }{39})}^3=& 3x_1+2\cos \frac{2\pi }{13}+2\cos \frac{8\pi }{13}+2\cos \frac{6\pi }{13}+6(x_2+2)+3{\omega }^2(2x_1+x_3+2\cos \frac{4\pi }{13}+2\cos \frac{10\pi }{13}+2\cos \frac{12\pi }{13})+3\omega (2x_1+x_4+2\cos \frac{4\pi }{13}+2\cos \frac{10\pi }{13}+2\cos \frac{12\pi }{13})\\ =& 3x_1+\frac{-1+\sqrt{13}}{2}+6(x_2+2)+3{\omega }^2(2x_1+x_3+\frac{-1-\sqrt{13}}{2})+3\omega (2x_1+x_4+\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\\ =& \frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}-3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}\\ \end{array}$

両辺の立方根を取ると

$\begin{array}{cc}2\cos \frac{2\pi }{39}+\omega \cdot 2\cos \frac{32\pi }{39}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{34\pi }{39}=& \sqrt[3]{\frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}+3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}}\\ 2\cos \frac{2\pi }{39}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{32\pi }{39}+\omega \cdot 2\cos \frac{34\pi }{39}=& \sqrt[3]{\frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}-3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}}\\ \end{array}$

よって

$\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{39}=& \frac{1}{6}(\frac{1-\sqrt{13}-\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}}{4}+\sqrt[3]{\frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}+3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}}+\sqrt[3]{\frac{104+34\sqrt{13}+3\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+15\sqrt{6(13+3\sqrt{13})}-3\sqrt{3}(-2\sqrt{13}+\sqrt{6(13-3\sqrt{13})}+\sqrt{6(13+3\sqrt{13})})i}{8}})\\ \end{array}$

正三十九角形の作図

正三十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十九角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 十三角形