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'''三つ子素数'''（みつごそすう、prime triplet）もしくは'''三つ組素数'''とは、3個の[[素数]]の組で、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} または {{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} のタイプのもののことである。 == 概要 == 三つ子素数は[[双子素数]]、[[いとこ素数]]、[[セクシー素数]]を含む。 なお、双子素数は「2つの素数の組 {{math|(''p'', ''p'' + 2)}}」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 4)}}」と定義'''していない'''。 この形は {{math|(3, 5, 7)}} のみであるからと、{{math|''p''}} が5以上の素数の場合、「{{math|(''p'' + 2, ''p'' + 4)}}」のいずれかが'''必ず3の倍数になる'''<ref>pが3で割って1余る数ならばp+2が3の倍数に、pが3で割って2余る数ならばp+4が3の倍数になる。</ref>からである。 三つ子素数を小さい順に並べると、次のようになる。 :{{math|(5, 7, 11)}}, {{math|(7, 11, 13)}}, {{math|(11, 13, 17)}}, {{math|(13, 17, 19)}}, {{math|(17, 19, 23)}}, {{math|(37, 41, 43)}}, {{math|(41, 43, 47)}}, {{math|(67, 71, 73)}}, {{math|(97, 101, 103)}}, … 三つ組の中で最小の素数のみを並べると、 :{{math|5}}, {{math|7}}, {{math|11}}, {{math|13}}, {{math|17}}, {{math|37}}, {{math|41}}, {{math|67}}, {{math|97}}, {{math|101}}, {{math|103}}, {{math|107}}, {{math|191}}, {{math|193}}, {{math|223}}, {{math|227}}, {{math|277}}, {{math|307}}, {{math|311}}, {{math|347}}, {{math|457}}, {{math|461}}, {{math|613}}, {{math|641}}, {{math|821}}, {{math|823}}, {{math|853}}, {{math|857}}, {{math|877}}, {{math|881}}, {{math|1087}}, …（{{OEIS|A7529}}） である。このうち、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} のタイプのものは :{{math|5}}, {{math|11}}, {{math|17}}, {{math|41}}, {{math|101}}, {{math|107}}, {{math|191}}, {{math|227}}, {{math|311}}, {{math|347}}, {{math|461}}, {{math|641}}, {{math|821}}, {{math|857}}, {{math|881}}, … ({{OEIS2C|A22004}}) {{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} のタイプのものは :{{math|7}}, {{math|13}}, {{math|37}}, {{math|67}}, {{math|97}}, {{math|103}}, {{math|193}}, {{math|223}}, {{math|277}}, {{math|307}}, {{math|457}}, {{math|613}}, {{math|823}}, {{math|853}}, {{math|877}}, {{math|1087}}, … ({{OEIS2C|A22005}}) となる。 == 予想 == 三つ子素数は無数に存在すると予想されている。[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]はより詳細な予想を立てており、それによると、{{mvar|x}} 未満の {{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} の形の三つ子素数、{{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} の形の三つ子素数のそれぞれの個数はおよそ :<math>\frac{9}{2} \prod_{p\ge 5} \frac{p^2(p-3)}{(p-1)^3} \int_2^x \frac{dx}{(\log x)^3} \approx 2.858248596 \int_2^x \frac{dx}{(\log x)^3}</math> であるらしい。{{math|10{{sup|8}}}} 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である<ref>{{Cite web|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=PrimeTriple|title=The Prime Glossary: prime triple|publisher=[[Prime Pages]]|accessdate=2019-05-24}}</ref>。 知られている三つ子素数で最大の {{mvar|p}} は、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} の形では2019年4月に発見された20008桁の {{math|4111286921397 × 2{{sup|66420}} − 1}} であり、{{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} の形では2013年4月に発見された16737桁の {{math|6521953289619 × 2{{sup|55555}} − 5}} である<ref>{{Cite web|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=61|title=The Top Twenty: Triplet|publisher=[[Prime Pages]]|accessdate=2019-05-24}}</ref>。 == 脚注 == <references /> == 参考文献 == * Chris K. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』[[共立出版]]、2004年 ISBN 978-4320017597 == 関連項目 == * [[双子素数]] * [[四つ子素数]] * [[セクシー素数]] * [[Prime k-tuple]] == 外部リンク == * {{MathWorld|title=Prime Triplet|urlname=PrimeTriplet}} {{素数の分類}} {{DEFAULTSORT:みつこそすう}} [[Category:素数]] [[Category:数学に関する記事]]
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