三十一角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 31.svg|300px|サムネイル|右|正三十一角形]]
'''三十一角形'''（さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon）は、[[多角形]]の一つで、31本の[[辺]]と31個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は5220°、[[対角線]]の本数は434本である。

== 正三十一角形 ==
正三十一角形においては、中心角と外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は
:<math>S = \frac{31}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{31} \simeq 76.21197 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/31)</math>は[[五次方程式]]、[[三次方程式]]を解くことにより求められる<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12592166179.html?frm=theme z^31=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]
</ref>。

<math>z^{5}=1</math>の複素数解を <math>\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4</math> として

以下には、中間結果（五次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

:<math>\begin{align}
& x_1=2\cos\frac{2\pi}{31}+2\cos\frac{10\pi}{31}+2\cos\frac{12\pi}{31} = \frac{-1+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4}{5} \,\\
& x_2=2\cos\frac{4\pi}{31}+2\cos\frac{20\pi}{31}+2\cos\frac{24\pi}{31} = \frac{-1+\lambda_1\sigma^4+\lambda_2\sigma^3+\lambda_3\sigma^2+\lambda_4\sigma}{5} \,\\
& x_3=2\cos\frac{8\pi}{31}+2\cos\frac{22\pi}{31}+2\cos\frac{14\pi}{31} = \frac{-1+\lambda_1\sigma^3+\lambda_2\sigma+\lambda_3\sigma^4+\lambda_4\sigma^2}{5} \,\\
& x_4=2\cos\frac{16\pi}{31}+2\cos\frac{18\pi}{31}+2\cos\frac{28\pi}{31} = \frac{-1+\lambda_1\sigma^2+\lambda_2\sigma^4+\lambda_3\sigma+\lambda_4\sigma^3}{5} \,\\
& x_5=2\cos\frac{6\pi}{31}+2\cos\frac{26\pi}{31}+2\cos\frac{30\pi}{31} = \frac{-1+\lambda_1\sigma+\lambda_2\sigma^2+\lambda_3\sigma^3+\lambda_4\sigma^4}{5} \,\\
\end{align}</math>

ここで <math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4</math> は
:<math>\begin{align}
& \lambda_1=\sqrt[5]{31(36\sigma+201\sigma^2+66\sigma^3+106\sigma^4)} \,\\
& \lambda_2=\sqrt[5]{31(36\sigma^2+201\sigma^4+66\sigma+106\sigma^3)} \,\\
& \lambda_3=\sqrt[5]{31(36\sigma^3+201\sigma+66\sigma^4+106\sigma^2)} \,\\
& \lambda_4=\sqrt[5]{31(36\sigma^4+201\sigma^3+66\sigma^2+106\sigma)} \,\\
\end{align}</math>

<math>\cos (2\pi/31)</math>は <math>x_1,x_2,x_3</math> を用いた以下の三次方程式の解の一つである。
:<math>u^3-\frac{x_1}{2}u^2+\frac{x_1+x_3}{4}u-\frac{x_2+2}{8}=0</math>

変数変換
:<math>v=u+\frac{x_1}{6}</math>

整理すると
:<math>v^3-\frac{6-x_1+x_2-x_3}{12}v-\frac{24-6x_1+12x_2-6x_3-3x_4-x_5}{216}=0</math>

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:<math>\cos\frac{2\pi}{31}= \frac{x_1}{6} + \frac13 \sqrt{6-x_1+x_2-x_3}\cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{24-6x_1+12x_2-6x_3-3x_4-x_5}{2(6-x_1+x_2-x_3)^{\frac32}} \right) </math>

上記三次方程式を変形すると
:<math>v^3-\frac{6-x_1+x_2-x_3}{12}v-\frac{(6-x_1+x_2-x_3)(129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4)}{216\cdot67}=0</math>

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:<math>\cos\frac{2\pi}{31}= \frac{x_1}{6} + \frac13 \sqrt{6-x_1+x_2-x_3}\cdot \cos\left( \frac13 \arccos \frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}} \right) </math>

平方根、立方根で表すと
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{31}=\frac{x_1}{6}+\frac{\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}{6}\sqrt[3]{\frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}+i\frac{\sqrt{27(1091-96x_1-348x_2-367x_3+114x_4)}}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}} \\ +\frac{\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}{6}\sqrt[3]{\frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}-i\frac{\sqrt{27(1091-96x_1-348x_2-367x_3+114x_4)}}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}}
\end{align}</math>

=== 正三十一角形の作図 ===
正三十一角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正三十一角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図が不可能な図形である。

== 脚注 ==
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== 関連項目 ==

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* [https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12592166179.html?frm=theme z^31=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:さんしゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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