三十一角形

正三十一角形

三十一角形（さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon）は、多角形の一つで、31本の辺と31個の頂点を持つ図形である。内角の和は5220°、対角線の本数は434本である。

正三十一角形

正三十一角形においては、中心角と外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は

$S=\frac{31}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{31}\simeq 76.21197a^2$

$\cos (2\pi /31)$は五次方程式、三次方程式を解くことにより求められる。

$z^5=1$の複素数解を $\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3,{\sigma }^4$ として

以下には、中間結果（五次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

$\begin{array}{cc}& x_1=2\cos \frac{2\pi }{31}+2\cos \frac{10\pi }{31}+2\cos \frac{12\pi }{31}=\frac{-1+{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4}{5}\\ & x_2=2\cos \frac{4\pi }{31}+2\cos \frac{20\pi }{31}+2\cos \frac{24\pi }{31}=\frac{-1+{\lambda }_1{\sigma }^4+{\lambda }_2{\sigma }^3+{\lambda }_3{\sigma }^2+{\lambda }_4\sigma }{5}\\ & x_3=2\cos \frac{8\pi }{31}+2\cos \frac{22\pi }{31}+2\cos \frac{14\pi }{31}=\frac{-1+{\lambda }_1{\sigma }^3+{\lambda }_2\sigma +{\lambda }_3{\sigma }^4+{\lambda }_4{\sigma }^2}{5}\\ & x_4=2\cos \frac{16\pi }{31}+2\cos \frac{18\pi }{31}+2\cos \frac{28\pi }{31}=\frac{-1+{\lambda }_1{\sigma }^2+{\lambda }_2{\sigma }^4+{\lambda }_3\sigma +{\lambda }_4{\sigma }^3}{5}\\ & x_5=2\cos \frac{6\pi }{31}+2\cos \frac{26\pi }{31}+2\cos \frac{30\pi }{31}=\frac{-1+{\lambda }_1\sigma +{\lambda }_2{\sigma }^2+{\lambda }_3{\sigma }^3+{\lambda }_4{\sigma }^4}{5}\\ \end{array}$

ここで ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$ は

$\begin{array}{cc}& {\lambda }_1=\sqrt[5]{31(36\sigma +201{\sigma }^2+66{\sigma }^3+106{\sigma }^4)}\\ & {\lambda }_2=\sqrt[5]{31(36{\sigma }^2+201{\sigma }^4+66\sigma +106{\sigma }^3)}\\ & {\lambda }_3=\sqrt[5]{31(36{\sigma }^3+201\sigma +66{\sigma }^4+106{\sigma }^2)}\\ & {\lambda }_4=\sqrt[5]{31(36{\sigma }^4+201{\sigma }^3+66{\sigma }^2+106\sigma )}\\ \end{array}$

$\cos (2\pi /31)$は $x_1,x_2,x_3$ を用いた以下の三次方程式の解の一つである。

$u^3-\frac{x_1}{2}{u}^2+\frac{x_1+x_3}{4}u-\frac{x_2+2}{8}=0$

変数変換

$v=u+\frac{x_1}{6}$

整理すると

$v^3-\frac{6-x_1+x_2-x_3}{12}v-\frac{24-6x_1+12x_2-6x_3-3x_4-x_5}{216}=0$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

$\cos \frac{2\pi }{31}=\frac{x_1}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}\cdot \cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{24-6x_1+12x_2-6x_3-3x_4-x_5}{2(6-x_1+x_2-x_3{)}^{\frac{3}{2}}})$

上記三次方程式を変形すると

$v^3-\frac{6-x_1+x_2-x_3}{12}v-\frac{(6-x_1+x_2-x_3)(129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4)}{216\cdot 67}=0$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

$\cos \frac{2\pi }{31}=\frac{x_1}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}\cdot \cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}})$

平方根、立方根で表すと

$\begin{array}{c}\cos \frac{2\pi }{31}=\frac{x_1}{6}+\frac{\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}{6}\sqrt[3]{\frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}+i\frac{\sqrt{27(1091-96x_1-348x_2-367x_3+114x_4)}}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}}\\ +\frac{\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}{6}\sqrt[3]{\frac{129-10x_1+81x_2-48x_3-30x_4}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}-i\frac{\sqrt{27(1091-96x_1-348x_2-367x_3+114x_4)}}{134\sqrt{6-x_1+x_2-x_3}}}\end{array}$

正三十一角形の作図

正三十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十一角形は折紙により作図が不可能な図形である。

外部リンク

• z^31=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室