三十三角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 33.svg|300px|サムネイル|右|正三十三角形]]
'''三十三角形'''（さんじゅうさんかくけい、さんじゅうさんかっけい、triacontatrigon）は、[[多角形]]の一つで、33本の[[辺]]と33個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は5580°、[[対角線]]の本数は495本である。

== 正三十三角形 ==
正三十三角形においては、中心角と外角は10.909…°で、内角は169.09…°となる。一辺の長さが a の正三十三角形の面積 S は
:<math>S = \frac{33}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{33} \simeq 86.39791 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/33)</math>は以下の関係式を用いて冪根で表せる。（[[十一角形#正十一角形|正十一角形]]も参照）
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{33} =& \cos \left(\frac{8\pi}{11}-\frac{2\pi}{3}\right) \\ 
=& \cos \frac{8\pi}{11}\cos \frac{2\pi}{3}+\sin \frac{8\pi}{11}\sin \frac{2\pi}{3} \\
=& -\frac{1}{2}\cos \frac{8\pi}{11} +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{8\pi}{11} \\
=& -\frac{1}{4}\sqrt{2+2\cos \frac{16\pi}{11}} +\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{2-2\cos \frac{16\pi}{11}} \\
=& -\frac{1}{4}\sqrt{2+2\cos \frac{6\pi}{11}} +\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{2-2\cos \frac{6\pi}{11}} \\
\end{align}</math>

;関係式
Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{33}+2\cos\frac{4\pi}{33}+2\cos\frac{6\pi}{33}+2\cos\frac{8\pi}{33}+2\cos\frac{10\pi}{33}+2\cos\frac{12\pi}{33}+2\cos\frac{14\pi}{33}\\
& +2\cos\frac{16\pi}{33}+2\cos\frac{18\pi}{33}+2\cos\frac{20\pi}{33}+2\cos\frac{22\pi}{33}+2\cos\frac{24\pi}{33}+2\cos\frac{26\pi}{33}+2\cos\frac{28\pi}{33}+2\cos\frac{30\pi}{33}+2\cos\frac{32\pi}{33}=-1 
\end{align}</math>

ここで、以下の関係式を使って
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{22\pi}{33}=2\cos\frac{2\pi}{3}=-1 \,\\
& 2\cos\frac{6\pi}{33}+2\cos\frac{12\pi}{33}+2\cos\frac{18\pi}{33}+2\cos\frac{24\pi}{33}+2\cos\frac{30\pi}{33} \\
& =2\cos\frac{2\pi}{11}+2\cos\frac{4\pi}{11}+2\cos\frac{6\pi}{11}+2\cos\frac{8\pi}{11}+2\cos\frac{10\pi}{11}=-1 \\
\end{align}</math>

整理すると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{33}+2\cos\frac{4\pi}{33}+2\cos\frac{8\pi}{33}+2\cos\frac{10\pi}{33}+2\cos\frac{14\pi}{33}+2\cos\frac{16\pi}{33}+2\cos\frac{20\pi}{33}+2\cos\frac{26\pi}{33}+2\cos\frac{28\pi}{33}+2\cos\frac{32\pi}{33}=1 
\end{align}</math>

以下のように定義すると（角度を5倍して振り分ける）
:<math>\begin{align}
& \alpha=2\cos\frac{2\pi}{33}+2\cos\frac{16\pi}{33}+2\cos\frac{4\pi}{33}+2\cos\frac{32\pi}{33}+2\cos\frac{8\pi}{33} \\
& \beta=2\cos\frac{10\pi}{33}+2\cos\frac{14\pi}{33}+2\cos\frac{20\pi}{33}+2\cos\frac{28\pi}{33}+2\cos\frac{26\pi}{33}
\end{align}</math>

以下の値が求められる。
:<math>\begin{align}
& \alpha+\beta=1 \,\\
& (\alpha-\beta)^2 = 33 \\
& \alpha-\beta=\sqrt{33} \\
\end{align}</math>

=== 正三十三角形の作図 ===
正三十三角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正三十三角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図が不可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十一角形]]
* [[二十二角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:さんしゆうさんかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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