三十三角形

三十三角形（さんじゅうさんかくけい、さんじゅうさんかっけい、triacontatrigon）は、多角形の一つで、33本の辺と33個の頂点を持つ図形である。内角の和は5580°、対角線の本数は495本である。

正三十三角形

正三十三角形においては、中心角と外角は10.909…°で、内角は169.09…°となる。一辺の長さが a の正三十三角形の面積 S は

S = \frac{33}{4} a^{2} \cot \frac{π}{33} ≃ 86.39791 a^{2}

$\cos (2 π / 33)$ は以下の関係式を用いて冪根で表せる。（正十一角形も参照）

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{33} = & \cos (\frac{8 π}{11} - \frac{2 π}{3}) \\ = & \cos \frac{8 π}{11} \cos \frac{2 π}{3} + \sin \frac{8 π}{11} \sin \frac{2 π}{3} \\ = & - \frac{1}{2} \cos \frac{8 π}{11} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{8 π}{11} \\ = & - \frac{1}{4} \sqrt{2 + 2 \cos \frac{16 π}{11}} + \frac{\sqrt{3}}{4} \sqrt{2 - 2 \cos \frac{16 π}{11}} \\ = & - \frac{1}{4} \sqrt{2 + 2 \cos \frac{6 π}{11}} + \frac{\sqrt{3}}{4} \sqrt{2 - 2 \cos \frac{6 π}{11}} \end{matrix}

Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{33} + 2 \cos \frac{4 π}{33} + 2 \cos \frac{6 π}{33} + 2 \cos \frac{8 π}{33} + 2 \cos \frac{10 π}{33} + 2 \cos \frac{12 π}{33} + 2 \cos \frac{14 π}{33} \\ + 2 \cos \frac{16 π}{33} + 2 \cos \frac{18 π}{33} + 2 \cos \frac{20 π}{33} + 2 \cos \frac{22 π}{33} + 2 \cos \frac{24 π}{33} + 2 \cos \frac{26 π}{33} + 2 \cos \frac{28 π}{33} + 2 \cos \frac{30 π}{33} + 2 \cos \frac{32 π}{33} = - 1 \end{matrix}

ここで、以下の関係式を使って

\begin{matrix} 2 \cos \frac{22 π}{33} = 2 \cos \frac{2 π}{3} = - 1 \\ 2 \cos \frac{6 π}{33} + 2 \cos \frac{12 π}{33} + 2 \cos \frac{18 π}{33} + 2 \cos \frac{24 π}{33} + 2 \cos \frac{30 π}{33} \\ = 2 \cos \frac{2 π}{11} + 2 \cos \frac{4 π}{11} + 2 \cos \frac{6 π}{11} + 2 \cos \frac{8 π}{11} + 2 \cos \frac{10 π}{11} = - 1 \end{matrix}

整理すると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{33} + 2 \cos \frac{4 π}{33} + 2 \cos \frac{8 π}{33} + 2 \cos \frac{10 π}{33} + 2 \cos \frac{14 π}{33} + 2 \cos \frac{16 π}{33} + 2 \cos \frac{20 π}{33} + 2 \cos \frac{26 π}{33} + 2 \cos \frac{28 π}{33} + 2 \cos \frac{32 π}{33} = 1 \end{matrix}

以下のように定義すると（角度を5倍して振り分ける）

\begin{matrix} α = 2 \cos \frac{2 π}{33} + 2 \cos \frac{16 π}{33} + 2 \cos \frac{4 π}{33} + 2 \cos \frac{32 π}{33} + 2 \cos \frac{8 π}{33} \\ β = 2 \cos \frac{10 π}{33} + 2 \cos \frac{14 π}{33} + 2 \cos \frac{20 π}{33} + 2 \cos \frac{28 π}{33} + 2 \cos \frac{26 π}{33} \end{matrix}

以下の値が求められる。

\begin{matrix} α + β = 1 \\ (α - β)^{2} = 33 \\ α - β = \sqrt{33} \end{matrix}

正三十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。