三十八角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 38.svg|300px|サムネイル|右|正三十八角形]]
'''三十八角形'''（さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon）は、[[多角形]]の一つで、38本の[[辺]]と38個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は6480°、[[対角線]]の本数は665本である。

== 正三十八角形 ==
正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は
:<math>S = \frac{38}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{38} \simeq 114.64795 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/38)</math>を平方根と立方根で表すことが可能である。[[正十九角形]]も参照。

以下ように <math>x_1,x_2,x_3</math> をおくと
:<math>\begin{align}
& x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{38} + 2\cos\frac{22\pi}{38} + 2\cos\frac{14\pi}{38}=\frac {1+\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3} \\
& x_2=  2\cos\frac{6\pi}{38} + 2\cos\frac{10\pi}{38} + 2\cos\frac{34\pi}{38}=\frac {1+\omega^2\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3} \\
& x_3 = 2\cos\frac{18\pi}{38} + 2\cos\frac{30\pi}{38} + 2\cos\frac{26\pi}{38}=\frac {1+\omega\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega^2\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3} \\
\end{align}</math>

以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。
:<math>
x^3-x^2-6x+7=0
</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{38} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{38} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{38} \right)^3=3x_1+7x_2-12-6\omega(x_2-1)+3\omega^2 (x_1+1) \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{38} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{38} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{38} \right)^3=3x_1+7x_2-12-6\omega^2(x_2-1)+3\omega(x_1+1) \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{38} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{38} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{38}=&\sqrt[3]{3x_1+7x_2-12-6\omega(x_2-1)+3\omega^2 (x_1+1)} \\
2\cos\frac{2\pi}{38} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{38} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{38}=&\sqrt[3]{3x_1+7x_2-12-6\omega^2(x_2-1)+3\omega(x_1+1)} \\
\end{align}</math>
よって
:<math>\begin{align}
6\cos\frac{2\pi}{38}=&x_1+\sqrt[3]{3x_1+7x_2-12-6\omega(x_2-1)+3\omega^2 (x_1+1)}+\sqrt[3]{3x_1+7x_2-12-6\omega^2(x_2-1)+3\omega(x_1+1)} \\
\end{align}</math>
整理すると
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{38}=&\frac16\left( \tfrac{1+\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}+\sqrt[3]{\tfrac{-38+(10\omega^2-3)\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10\omega+6)\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}}+\sqrt[3]{\tfrac{-38+(10\omega^2+6)\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10\omega-3)\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}} \right) \\
\end{align}</math>
</div>
=== 正三十八角形の作図 ===
正三十八角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正三十八角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十九角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:さんしゆうはちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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