三十八角形

三十八角形（さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon）は、多角形の一つで、38本の辺と38個の頂点を持つ図形である。内角の和は6480°、対角線の本数は665本である。

正三十八角形

正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は

S = \frac{38}{4} a^{2} \cot \frac{π}{38} ≃ 114.64795 a^{2}

$\cos (2 π / 38)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。

以下ように $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ をおくと

\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{38} + 2 \cos \frac{22 π}{38} + 2 \cos \frac{14 π}{38} = \frac{1 + \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} \\ x_{2} = 2 \cos \frac{6 π}{38} + 2 \cos \frac{10 π}{38} + 2 \cos \frac{34 π}{38} = \frac{1 + ω^{2} \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + ω \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} \\ x_{3} = 2 \cos \frac{18 π}{38} + 2 \cos \frac{30 π}{38} + 2 \cos \frac{26 π}{38} = \frac{1 + ω \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + ω^{2} \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} \end{matrix}

以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。

x^{3} - x^{2} - 6 x + 7 = 0

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{38} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{38} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{38})}^{3} = 3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω (x_{2} - 1) + 3 ω^{2} (x_{1} + 1) \\ {(2 \cos \frac{2 π}{38} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{38} + ω \cdot 2 \cos \frac{14 π}{38})}^{3} = 3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω^{2} (x_{2} - 1) + 3 ω (x_{1} + 1) \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{38} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{38} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{38} = & \sqrt[3]{3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω (x_{2} - 1) + 3 ω^{2} (x_{1} + 1)} \\ 2 \cos \frac{2 π}{38} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{38} + ω \cdot 2 \cos \frac{14 π}{38} = & \sqrt[3]{3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω^{2} (x_{2} - 1) + 3 ω (x_{1} + 1)} \end{matrix}

よって

\begin{matrix} 6 \cos \frac{2 π}{38} = & x_{1} + \sqrt[3]{3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω (x_{2} - 1) + 3 ω^{2} (x_{1} + 1)} + \sqrt[3]{3 x_{1} + 7 x_{2} - 12 - 6 ω^{2} (x_{2} - 1) + 3 ω (x_{1} + 1)} \end{matrix}

整理すると

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{38} = & \frac{1}{6} (\frac{1 + \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} + \sqrt[3]{\frac{- 38 + (10 ω^{2} - 3) \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + (10 ω + 6) \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3}} + \sqrt[3]{\frac{- 38 + (10 ω^{2} + 6) \sqrt[3]{\frac{- 133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + (10 ω - 3) \sqrt[3]{\frac{- 133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3}}) \end{matrix}

正三十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十八角形は折紙により作図可能である。