十九角形

十九角形（じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、Enneadecagon、enneakaidecagon や nonadecagon とも）は、多角形の一つで、19本の辺と19個の頂点を持つ図形である。内角の和は3060°で、対角線の本数は152本である。

正十九角形

正十九角形においては、中心角と外角は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は

S = \frac{19}{4} a^{2} \cot \frac{π}{19} ≃ 28.4652 a^{2}

で、外接円の半径 R は

R = \frac{a}{2} \csc \frac{π}{19} ≃ 3.037767 a

で与えられる。

$\cos (2 π / 19)$ を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す^[1]。

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{19} + 2 \cos \frac{16 π}{19} + 2 \cos \frac{14 π}{19} = & \frac{- 1 + ω^{2} \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + ω \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} = α \\ 2 \cos \frac{4 π}{19} + 2 \cos \frac{6 π}{19} + 2 \cos \frac{10 π}{19} = & \frac{- 1 + \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} = β \\ 2 \cos \frac{8 π}{19} + 2 \cos \frac{18 π}{19} + 2 \cos \frac{12 π}{19} = & \frac{- 1 + ω \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + ω^{2} \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} = γ \end{matrix}

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{19} + ω \cdot 2 \cos \frac{16 π}{19} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{19})}^{3} = 3 α + 7 β + 12 - 6 ω (β + 1) + 3 ω^{2} (α - 1) \\ {(2 \cos \frac{2 π}{19} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{16 π}{19} + ω \cdot 2 \cos \frac{14 π}{19})}^{3} = 3 α + 7 β + 12 - 6 ω^{2} (β + 1) + 3 ω (α - 1) \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{19} + ω \cdot 2 \cos \frac{16 π}{19} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{19} = & \sqrt[3]{3 α + 7 β + 12 - 6 ω (β + 1) + 3 ω^{2} (α - 1)} \\ 2 \cos \frac{2 π}{19} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{16 π}{19} + ω \cdot 2 \cos \frac{14 π}{19} = & \sqrt[3]{3 α + 7 β + 12 - 6 ω^{2} (β + 1) + 3 ω (α - 1)} \end{matrix}

よって

\begin{matrix} 6 \cos \frac{2 π}{19} = & α + \sqrt[3]{3 α + 7 β + 12 - 6 ω (β + 1) + 3 ω^{2} (α - 1)} + \sqrt[3]{3 α + 7 β + 12 - 6 ω^{2} (β + 1) + 3 ω (α - 1)} \end{matrix}

整理すると

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{19} = & \frac{1}{6} (\frac{- 1 + ω^{2} \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + ω \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3} + \sqrt[3]{\frac{38 + (10 + 6 ω^{2}) \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + (10 - 3 ω) \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3}} + \sqrt[3]{\frac{38 + (10 - 3 ω^{2}) \sqrt[3]{\frac{133 + 57 \sqrt{3} i}{2}} + (10 + 6 ω) \sqrt[3]{\frac{133 - 57 \sqrt{3} i}{2}}}{3}}) \end{matrix}

正十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正十九角形は折紙により作図可能である。