三極座標のソースを表示

'''三極座標'''（さんきょくざひょう、{{Lang-en-short|tripolar coordinates}}）は、[[三角形]]を基準とする[[座標]]の一つである<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=[[開新堂]] |doi=10.11501/826188 |page=69}}</ref><ref>{{Cite book |title=The modern geometry of the triangle |url=http://archive.org/details/cu31924001522782 |publisher=London, F. Hodgson |date=1910 |others=Cornell University Library |first=William |last=Gallatly |page=9}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bates|first=G. N.|date=1902-07|title=Tripolar Coordinates|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/tripolar-coordinates/258872EE1712D5F165944357817D3A36|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=2|issue=34|pages=183–188|language=en|doi=10.2307/3602490|issn=0025-5572}}</ref><ref>{{Cite web |title=Relating Trilinear and Tripolar Coordinates for a Triangle - Wolfram Demonstrations Project |url=http://demonstrations.wolfram.com/RelatingTrilinearAndTripolarCoordinatesForATriangle/ |website=demonstrations.wolfram.com |access-date=2024-08-10 |language=en}}</ref>。三極座標では{{Math|△''ABC''}}に対して点<math>P</math>の座標は<math>(AP, BP, CP)</math>と定義される。現在、三極座標はほとんど使われない<ref>AP Hatzipolakis, F van Lamoen, B Wolk en P Yiu. Concurrency of Four Euler, 2001. voor [[Forum Geometricorum]] 1, blz 59-68, [http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200109index.html hier beschikbaar]</ref>。

== 関係式 ==
[[レオンハルト・オイラー]]は三極座標<math>(f, g, h)</math>において、次の関係式が成り立つことを示した<ref>{{Cite book|title=De symptomatibus quatuor punctorum, in eodem plano sitorum |publisher=Acta Acad. Sci. |url=https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1600&context=euler-works |author=Leonhard Euler}}</ref>。ただし<math>a,b,c</math>は三角形の三[[辺]]。<math display="block">\begin{align}
(-a^2+g^2+h^2)^2f^2+(f^2-b^2+h^2)^2g^2+(f^2+g^2-c^2)^2h^2+(-a^2+g^2+h^2)(f^2-b^2+h^2)(f^2+g^2-c^2)\\
-4f^2g^2h^2=0
\end{align}</math>[[和算家]]は次の式を六斜術と呼んだ<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=重心座標による幾何学 |url=https://ci.nii.ac.jp/ncid/BB16754511 |publisher=現代数学社 |date=2014 |language=ja |first=信 |last=一松 |first2=和生 |last2=畔柳 |author-link=一松信}}</ref>。<math display="block">\begin{align}
(-a^2+b^2+c^2)(g^2h^2+a^2f^2)+(a^2-b^2+c^2)(h^2f^2+b^2g^2)+(a^2+b^2-c^2)(f^2g^2+a^2h^2)\\
-a^2b^2c^2-a^2f^4-b^2g^4-c^2h^4=0

\end{align}</math>

== 円と直線 ==
三極座標において、<math>l + m + n = 0</math>が成立すれば、[[方程式]]<math>lf^2 + mg^2 + nh^2 +p = 0</math>は[[直線]]、成立しなければ[[円 (数学)|円]]を表す<ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |page=199 |doi=10.11501/952208 |translator=[[小倉金之助]] |author=サーモン}}</ref>。

* 方程式が円を表す場合、その中心は[[重心座標|重心座標系]]で<math>(l : m : n)</math>と表される。
* 方程式が直線を表す場合、その直線は重心座標で<math>lx+my+nz=0</math>と表される直線に[[垂直]]である。

== 比 ==
<math>(f, g, h)</math>について、三極座標<math>f : g : h = x : y : z</math>を満たす点<math>(x,y,z)</math>の個数は、<math>af,bg,ch </math>によって決定される<ref>{{Citation|title=The Distances from a Point to the Vertices of a Triangle|last=Bottema|first=O.|last2=Erne|first2=Reinie|date=2008|year=|url=https://doi.org/10.1007/978-0-387-78131-0_8|publisher=Springer|editor-last=Bottema|editor-first=O.|pages=1–5|isbn=978-0-387-78131-0|language=en|doi=10.1007/978-0-387-78131-0_8|access-date=}}</ref>。

* <math>af,bg,ch </math>が三角形を作れる（[[三角不等式]]を満たす）とき、2つ存在する。この二点は'''三極連合'''を成すと言われる<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部,Traité de géométrie. 7. éd |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |page=566,633 |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |url=https://archive.org/details/traitdegomtriel02combgoog |doi=10.11501/930885 |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>。
* <math>af,bg,ch </math>が[[退化 (数学)|退化]]した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。
* <math>af,bg,ch </math>が三角形を作れない場合、存在しない。
たとえば<math>f : g : h = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}</math>を満たす点は二つの[[等力点]]である。

== 例 ==
以下にいくつかの[[三角形の中心]]の三極座標を挙げる<ref>{{高校数学の美しい物語|849|三角形の五心と頂点までの距離}}</ref>。ただし<math>R</math>は[[外接円]]の[[半径]]。
{| class="wikitable"
|+
!点
!三極座標
|-
|[[内心]]
|<math>\sqrt{\frac{bc(-a+b+c)}{a+b+c}}:\sqrt{\frac{ca(a-b+c)}{a+b+c}}:\sqrt{\frac{ab(a+b-c)}{a+b+c}}</math>
|-
|[[幾何中心|重心]]
|<math>\frac{\sqrt{-a^2+2b^2+2c^2}}{3}:\frac{\sqrt{2a^2-b^2+2c^2}}{3}:\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{3}</math>
|-
|[[外心]]
|<math>R:R:R</math>
|-
|[[垂心]]
|<math>2R|\cos A|:2R|\cos B|:2R|\cos C|</math>
|}
一般に重心座標で<math>p;q;r \quad (p+q+r=1)</math>と表される点と頂点の距離の[[自乗]]は次の式で求める事ができる<ref name=":1" />。

<math>AP^2=c^2q^2+b^2r^2+(b^2+c^2-a^2)qr</math>

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 関連項目 ==

* [[三線座標]]
* [[双極座標系]]
* [[極座標系]]
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Tripolar Coordinates|id=TripolarCoordinates}}
{{デフォルトソート:さんきよくさひよう}}
[[Category:座標]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]