三極座標

三極座標（さんきょくざひょう、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形を基準とする座標の一つである。三極座標ではテンプレート:Mathに対して点$P$の座標は$(AP,BP,CP)$と定義される。現在、三極座標はほとんど使われない。

関係式

レオンハルト・オイラーは三極座標$(f,g,h)$において、次の関係式が成り立つことを示した。ただし$a,b,c$は三角形の三辺。$$\begin{array}{c}(-a^2+g^2+h^2{)}^2{f}^2+(f^2-b^2+h^2{)}^2{g}^2+(f^2+g^2-c^2{)}^2{h}^2+(-a^2+g^2+h^2)(f^2-b^2+h^2)(f^2+g^2-c^2)\\ -4f^2{g}^2{h}^2=0\end{array}$$和算家は次の式を六斜術と呼んだ。$$\begin{array}{c}(-a^2+b^2+c^2)(g^2{h}^2+a^2{f}^2)+(a^2-b^2+c^2)(h^2{f}^2+b^2{g}^2)+(a^2+b^2-c^2)(f^2{g}^2+a^2{h}^2)\\ -a^2{b}^2{c}^2-a^2{f}^4-b^2{g}^4-c^2{h}^4=0\end{array}$$

円と直線

三極座標において、$l+m+n=0$が成立すれば、方程式$l{f}^2+m{g}^2+n{h}^2+p=0$は直線、成立しなければ円を表す。

• 方程式が円を表す場合、その中心は重心座標系で$(l:m:n)$と表される。
• 方程式が直線を表す場合、その直線は重心座標で$lx+my+nz=0$と表される直線に垂直である。

比

$(f,g,h)$について、三極座標$f:g:h=x:y:z$を満たす点$(x,y,z)$の個数は、$af,bg,ch$によって決定される。

• $af,bg,ch$が三角形を作れる（三角不等式を満たす）とき、2つ存在する。この二点は三極連合を成すと言われる。
• $af,bg,ch$が退化した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。
• $af,bg,ch$が三角形を作れない場合、存在しない。

たとえば$f:g:h=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$を満たす点は二つの等力点である。

例

以下にいくつかの三角形の中心の三極座標を挙げる。ただし$R$は外接円の半径。

点	三極座標
内心	$\sqrt{\frac{bc(-a+b+c)}{a+b+c}}:\sqrt{\frac{ca(a-b+c)}{a+b+c}}:\sqrt{\frac{ab(a+b-c)}{a+b+c}}$
重心	$\frac{\sqrt{-a^2+2b^2+2c^2}}{3}:\frac{\sqrt{2a^2-b^2+2c^2}}{3}:\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{3}$
外心	$R:R:R$
垂心	$2R|\cos A|:2R|\cos B|:2R|\cos C|$

一般に重心座標で$p;q;r(p+q+r=1)$と表される点と頂点の距離の自乗は次の式で求める事ができる。

$A{P}^2=c^2{q}^2+b^2{r}^2+(b^2+c^2-a^2)qr$

関連項目

• 三線座標
• 双極座標系
• 極座標系

外部リンク

• テンプレート:MathWorld