三次元の点群のソースを表示

{{要改訳|date=2018年1月}}
{{翻訳中途|[[:en:Point_groups_in_three_dimensions|Point groups in three dimensions]]|date=2018年1月16日 (火) 10:28 (UTC)}}

[[幾何学]]において、'''三次元の点群'''は原点を固定させる、またはそれ相当に、[[球面]]の{{仮リンク|等長群|en|isometry group}}であるところの三次元の等長群である。それは原点が固定された[[等長写像]]の群、またはそれ相当に、[[直交行列]]の群である、[[直交群]]<math>O(3)</math>の[[部分群]]である。<math>O(3)</math>そのものはすべての等長写像の[[ユークリッドの運動群]]<math>E(3)</math>の部分群である。

[[数学的対象|幾何学的対象]]の{{仮リンク|対称変換群|en|Symmetry group|label=回転対称群}}は等長群である。それに応じて、等長群の分析は可能な[[対称性]]の分析である。有界な三次元の幾何学的対象の全ての等長写像は一つもしくはそれより多い共通の固定点を持つ。それらの一つとして原点を選んで考える。

== 二項正多面体群 ==
写像 {{math|Spin(3) → SO(3)}} は三次元の[[スピン群]]による回転群の二重被覆である。[[対応定理]]によれば、{{math|Spin(3)}}の部分群と回転群 {{math|SO(3)}} の部分群の間に[[ガロア接続]]がある：{{math|Spin(3)}}の部分群の像（英：image）は回転点群であり、点群の逆像（英：preimage）は{{math|Spin(3)}}の部分群である。

<math><l, m, n></math>として表される、有限点群の逆像は'''二項正多面体群'''と呼ばれ、関係する{{仮リンク|正多面体群|en|polyhedral group}}<math>(l, m, n)</math>の2倍の位数を持ち、接頭辞「二項」をつけて、それ自体の点群としての同じ名前によって呼ばれる。すなわち{{仮リンク|正二十面体群|en|Icosahedral symmetry}}<math>(2, 3, 5)</math>の逆像は'''{{仮リンク|二項正二十面体群|en|binary icosahedral group}}'''<math><2, 3, 5></math>である。

二項正多面体群は：
* {{math|''A<sub>n</sub>''}}：位数{{math|2''n''}}、正 {{math|''n'' + 1}} 角形の'''{{仮リンク|二項巡回群|en|binary cyclic group}}'''
* {{math|''D<sub>n</sub>''}}：位数{{math|4''n''}}、正 {{mvar|n}} 角形の'''{{仮リンク|二項正二面体群|en|binary dihedral group}}'''
* {{math|''E''<sub>6</sub>}}：位数{{math|24}}、{{math|&lang;2, 3, 3&rang;}} の、'''{{仮リンク|二項正四面体群|en|binary tetrahedral group}}'''
* {{math|''E''<sub>7</sub>}}：位数{{math|48}}、{{math|&lang;2, 3, 4&rang;}} の、'''{{仮リンク|二項正八面体群|en|binary octahedral group}}'''
* {{math|''E''<sub>8</sub>}}:位数{{math|120}}、{{math|&lang;2, 3, 5&rang;}} の、'''{{仮リンク|二項正二十面体群|en|binary icosahedral group}}'''
である。

これらは{{仮リンク|ADE分類|en|ADE classification}}によって分類され、二項正多面体群の作用による<math>C ^ 2</math>の商はひとつの{{仮リンク|デュ・ヴァル特異点|en|Du Val singularity|label =デュ・バル特異点}}である<ref>{{citation |url =http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/burdan/singul.pdf |title =Du Val Singularities |first =Igor |last =Burban}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:さんしけんのてんくん}}
[[Category:ユークリッド空間の対称性]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]