三次元の点群

幾何学において、三次元の点群は原点を固定させる、またはそれ相当に、球面のテンプレート:仮リンクであるところの三次元の等長群である。それは原点が固定された等長写像の群、またはそれ相当に、直交行列の群である、直交群$O(3)$の部分群である。$O(3)$そのものはすべての等長写像のユークリッドの運動群$E(3)$の部分群である。

幾何学的対象のテンプレート:仮リンクは等長群である。それに応じて、等長群の分析は可能な対称性の分析である。有界な三次元の幾何学的対象の全ての等長写像は一つもしくはそれより多い共通の固定点を持つ。それらの一つとして原点を選んで考える。

二項正多面体群

写像 テンプレート:Math は三次元のスピン群による回転群の二重被覆である。対応定理によれば、テンプレート:Mathの部分群と回転群 テンプレート:Math の部分群の間にガロア接続がある：テンプレート:Mathの部分群の像（英：image）は回転点群であり、点群の逆像（英：preimage）はテンプレート:Mathの部分群である。

$<l,m,n>$として表される、有限点群の逆像は二項正多面体群と呼ばれ、関係するテンプレート:仮リンク$(l,m,n)$の2倍の位数を持ち、接頭辞「二項」をつけて、それ自体の点群としての同じ名前によって呼ばれる。すなわちテンプレート:仮リンク$(2,3,5)$の逆像はテンプレート:仮リンク$<2,3,5>$である。

二項正多面体群は：

• テンプレート:Math：位数テンプレート:Math、正 テンプレート:Math 角形のテンプレート:仮リンク
• テンプレート:Math：位数テンプレート:Math、正 テンプレート:Mvar 角形のテンプレート:仮リンク
• テンプレート:Math：位数テンプレート:Math、テンプレート:Math の、テンプレート:仮リンク
• テンプレート:Math：位数テンプレート:Math、テンプレート:Math の、テンプレート:仮リンク
• テンプレート:Math:位数テンプレート:Math、テンプレート:Math の、テンプレート:仮リンク

である。

これらはテンプレート:仮リンクによって分類され、二項正多面体群の作用による$C^2$の商はひとつのテンプレート:仮リンクである。