三次曲線のソースを表示

{{翻訳直後|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cubic_plane_curve&oldid=1208510271 英語版"Cubic plane curve" 20:33, 17 February 2024]|date=2024年6月}}[[ファイル:CubicCurve.svg|右|サムネイル|三次曲線の種類]]
[[数学]]において、'''三次曲線'''（さんじきょくせん、{{lang-en-short|cubic}}）、特に[[ユークリッド幾何学]]における'''平面三次曲線'''（{{lang-en-short|cubic plane curve}}）は以下のような[[三次方程式]]によって定義される[[代数曲線]]である。

: <math>F(x,y,z)=0</math>

ここで<math>(x:y:z)</math>は[[射影平面]]上の[[射影空間|斉次座標]]、または[[アフィン空間]]の非斉次座標で{{Math|1=''z'' = 1}}とした座標で、{{Mvar|F}}は三次の[[斉次多項式]]、すなわち以下のような0でない三次[[単項式]]の線形結合とする。

: <math>x^3,y^3,z^3,x^2y,x^2z,y^2x,y^2z,z^2x,z^2y,xyz</math>

これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の[[可換体]]{{Mvar|K}}上で9次元の[[射影空間]]を成す。また三次曲線{{Mvar|C}}を満たす1点{{Mvar|P}}は1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する[[円錐曲線]]と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは[[束 (射影幾何学)|束]]を成し、さらなる性質を持つこととなる（[[ケイリー＝バッハラッハの定理]]）。
[[ファイル:Cubic_with_double_point.svg|右|サムネイル|特異的な三次曲線 {{Math|1=''y''{{sup|2}} = ''x''{{sup|2}} ⋅ (''x'' + 1)}}. [[媒介変数表示]] {{Math|''t'' ↦ (''t''{{sup|2}} – 1, ''t'' ⋅ (''t''{{sup|2}} – 1))}}.]]
三次曲線には[[代数多様体の特異点|特異点]]を持つものもあり、[[射影直線]]における[[パラメトリック方程式]]となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は[[複素数]]のような[[代数的閉体]]上に9つの[[変曲点]]を持つ{{sfn|Bix|2006|p=228|loc=Exercise 12.24}}。これは、三次曲線を再定義する[[ヘッセ行列]]の同次座標を{{Mvar|C}}と掛け合わせることにより示すことができる（[[ベズーの定理]]）。しかし、これらの点のうちは[[実射影平面]]上にあるのは3点だけであり{{sfn|Bix|2006|p=224|loc=Exercise 12.8}}、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの[[変曲点]]は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点は[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]によって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「[[オーバル]]」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、[[ユークリッド平面]]に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 [[円錐曲線]]の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線は{{Mvar|K}}上の[[楕円曲線]]でもある。楕円曲線は普通、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数|ワイエルシュトラスの楕円関数]]を変形したもので研究されており、三次関数の[[平方根]]で作られた[[有理関数]]上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の[[無限遠点]]としてはたらく{{Mvar|K}}-[[有理点]]に依存する。{{Mvar|K}}が[[有理数]]体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

[[尖点]]や[[曲線の特異点|二重点]]など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または{{仮リンク|二重尖点|en|Tacnode}}、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（[[共点]]）を持つ。

== 三角形の三次曲線 ==
{{Math|△''ABC''}}の辺について <math>a = |BC|,</math> <math>b = |CA|,</math> <math>c = |AB|</math> とする。{{Math|△''ABC''}}の有名な三次曲線は様々な[[三角形の中心]]を通る。以下は斉次座標である[[三線座標|三線座標と重心座標]]を用いる。

三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。

: <math>x \to bcx, \quad y \to cay, \quad z \to abz;</math>

重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。

: <math>x \to ax, \quad y \to by, \quad z \to cz.</math>

三次曲線の多くは以下の形式で表される。

: <math>f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0.</math>

この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。

: <math>\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 </math>.

また''{{mvar|X}}''の[[等角共役|等角共役点]]を{{Mvar|X*}}とする。このとき三線座標において <math>X = x:y:z</math> ならば <math>X^* = \tfrac{1}{x}:\tfrac{1}{y}:\tfrac{1}{z}</math>が成り立つ。

=== ノイベルグ三次曲線 ===
{{詳細記事|ノイベルグ三次曲線}}
[[ファイル:NeubergCurve.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のノイベルグ三次曲線 {{Mvar|X}}を辺{{Mvar|BC, CA, AB}}で鏡映した点を{{Mvar|X{{sub|A}}, X{{sub|B}}, X{{sub|C}}}}とし{{Mvar|AX{{sub|A}}, BX{{sub|B}}, CX{{sub|C}}}}が一点で交わるような{{Mvar|X}}の軌跡である。]]
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>

[[ノイベルグ三次曲線]]（Neuberg cubic）は{{Mvar|X*}}が直線{{Mvar|EX}}上（''{{mvar|E}}''はオイラー無限遠点{{Math|''X''(30)}}、[[オイラー線]]方向の[[無限遠点]]）にあるような点{{Mvar|X}}の軌跡、つまり{{Mvar|XX*}}がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。{{Mvar|X}}を辺{{Mvar|BC, CA, AB}}で鏡映した点を{{Mvar|X{{sub|A}}, X{{sub|B}}, X{{sub|C}}}}とし、{{Math|△''X{{sub|A}}X{{sub|B}}X{{sub|C}}''}}と{{Math|△''ABC''}}が[[配景]]な{{Mvar|X}}の軌跡とも定義される。

ノイベルグ三次曲線は頂点、[[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]、[[外心]]、[[垂心]]、[[フェルマー点]]、[[等力点]]、オイラー無限遠点などを通る。

[[Catalogue of Triangle Cubics|Cubics in the Triangle Plane]]では'''[http://bernard-gibert.fr/files/Resources/neubergs.pdf K001]'''と登録されている。

=== 17点三次曲線（Thomson Cubic） ===
{{詳細記事|17点3次曲線}}[[ファイル:Thomson_cubic.svg|右|サムネイル|17点三次曲線（黒い線）。17点三次曲線上の{{Mvar|X}} ,{{Mvar|X*}},{{Math|''X''(2)}}(重心)は[[共線]]である。]]
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} bcx(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>

17点三次曲線は{{Mvar|X*}}が直線{{Mvar|GX}}（{{Mvar|G}}は[[幾何中心|重心]]）上にあるような点''{{mvar|X}}''の軌跡である。

17点三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、[[類似重心]]、辺の中点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは'''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k002.html K002]''' として登録されている。

=== ダルブー三次曲線 ===
{{詳細記事|{{仮リンク|ダルブー三次曲線|nl|Kubische kromme van Darboux}}}}
[[ファイル:DarbouxCubic.png|サムネイル|ダルブー三次曲線、 {{Mvar|X}}の{{Mvar|BC, CA, AB}}に対する[[垂足三角形]]が元の三角形と配景的であるような{{Mvar|X}}の軌跡]]
三線座標:<math>\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>

ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）は{{Mvar|X*}}が直線{{Mvar|LX}}上（{{Mvar|L}}は[[ド・ロンシャン点]]）にあるような点''{{mvar|X}}''の軌跡である。ダルブー三次曲線上の{{Mvar|X}}の[[垂足三角形]]は[[チェビアン|チェバ三角形]]で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、{{Mvar|X}} の垂足三角形は{{Mvar|X}}の反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは、'''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k004.html K004]''' として登録されている。

=== ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線 ===
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0 </math>

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）は{{Mvar|X*}}が直線{{Mvar|NX}}上（{{Math|1=''N'' = ''X''(5)}},[[九点円]]の中心）にある点''{{mvar|X}}''の軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、[[ナポレオン点]]などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k005.html K005]''' として登録されている。

=== リュカ三次曲線 ===
{{詳細記事|リュカ三次曲線}}
[[ファイル:LucasCubic.png|サムネイル|リュカ三次曲線 、 {{Mvar|X}}のの[[チェビアン|チェバ三角形]] がダルブー三次曲線上の点の[[垂足三角形]]となるような点{{Mvar|X}}の軌跡。]]
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>

リュカ三次曲線（Lucas cubic）は{{Mvar|X}} のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点{{Mvar|X}}の軌跡である。

リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、[[シュタイナー楕円|シュタイナー外接楕円]]の焦点、重心、垂心、[[ジェルゴンヌ点]]、[[ナーゲル点]]、ド・ロンシャン点 などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは'''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k007.html K007]''' として登録されている。

=== 第一ブロカール三次曲線 ===
[[ファイル:FirstBrocardCubic.png|サムネイル|第一ブロカール三次曲線、第一[[ブロカール三角形]]を{{Math|△''A'B'C'''}} とし、{{Mvar|XA', XB', XC'}}と{{Mvar|BC, CA, CB,}}のそれぞれの交点が共線であるような点''{{mvar|X}}''の軌跡。]]
三線座標:<math>\sum_{\text{cyclic}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>

{{Math|△''A'B'C'''}} を第一[[ブロカール三角形]]（1st Brocard cubic）、{{Mvar|X{{sub|A}}, X{{sub|B}}, X{{sub|C}}}}.をそれぞれ{{Mvar|XA′, XB′, XC′}}と {{Mvar|BC, CA, AB,}}の交点とする。このとき{{Mvar|X{{sub|A}}, X{{sub|B}}, X{{sub|C}}}}が共線となるような点{{Mvar|X}}の軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、[[シュタイナー点]]などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k017.html K017]'''として登録されている。

=== 第二ブロカール三次曲線 ===
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0 </math>

第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線{{Mvar|XX*}}の、{{Mvar|X}},{{Mvar|X*}}を通る[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]に対する極が[[中心線 (幾何学)#ブロカール軸|ブロカール軸]]上にあるような点''{{mvar|X}}''の軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、[[パリー点]]、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k018.html K018]'''として登録されている。

=== 1st equal areas cubic ===
[[ファイル:FirstEqualAreasCubic.png|サムネイル|第一等積三次曲線:{{Mvar|X}} のチェバ三角形と{{Mvar|X*}}のチェバ三角形の面積が等しくなるような点{{Mvar|X}}の軌跡。]]
三線座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2)= 0 </math>

重心座標: <math>\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0 </math>

1st equal areas cubicは{{Mvar|X}} のチェバ三角形と{{Mvar|X*}}のチェバ三角形の面積が等しくなるような点{{Mvar|X}}の軌跡である。{{Mvar|X*}}が直線{{Mvar|S*X}} 上({{Math|1=''S'' = ''X''(99)}},シュタイナー点)にあるような点{{Mvar|X}}の軌跡とも定義される。

1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二[[ブロカール点]]を通る。

Cubics in the Triangle Planeでは '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k021.html K021]'''として登録されている。

=== 2nd equal areas cubic ===
三線座標: <math>(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx) </math>

重心座標:<math>\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0 </math>

2nd equal areas cubicは三線座標で <math>X = x:y:z</math> ,  <math>X_Y = y:z:x</math>, <math>X_Z = z:x:y.</math> とし、{{Mvar|X{{sub|Y}}}}と{{Mvar|X{{sub|Z}}}}のチェバ三角形の面積が等しくなるような点{{Mvar|X}}の軌跡である。

2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 ''X''(31), ''X''(105), ''X''(238), ''X''(292), ''X''(365), ''X''(672), ''X''(1453), ''X''(1931), ''X''(2053)などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k155.html K155]'''として登録されている。

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 関連 ==

* {{仮リンク|非平面三次曲線|en|Twisted cubic}}
* [[楕円曲線]]
* [[アーネシの曲線]]
* [[Catalogue of Triangle Cubics]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2024年11月}}
* {{Citation|title=Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves|edition=Second|last=Bix|first=Robert|year=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0387-31802-8|zbl=1106.14014|mr=2242725}}.
* {{Citation|title=Locus properties of the Neuberg cubic|last=Cerin|first=Zvonko|year=1998|journal=Journal of Geometry|volume=63|issue=1–2|pages=39–56|doi=10.1007/BF01221237}}.
* {{Citation|title=On the cubic of Napoleon|last=Cerin|first=Zvonko|year=1999|journal=Journal of Geometry|volume=66|issue=1–2|pages=55–71|doi=10.1007/BF01225672}}.
* {{Citation|title=Some cubic curves associated with a triangle|last=Cundy|first=H. M.|last2=Parry|first2=Cyril F.|year=1995|journal=Journal of Geometry|volume=53|issue=1–2|pages=41–66|doi=10.1007/BF01224039|name-list-style=amp}}.
* {{Citation|title=Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)|last=Cundy|first=H. M.|last2=Parry|first2=Cyril F.|year=1999|journal=Journal of Geometry|volume=66|issue=1–2|pages=72–103|doi=10.1007/BF01225673|name-list-style=amp}}.
* {{Citation|title=Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)|last=Cundy|first=H. M.|last2=Parry|first2=Cyril F.|year=2000|journal=Journal of Geometry|volume=68|issue=1–2|pages=58–75|doi=10.1007/BF01221061|name-list-style=amp}}.
* {{Citation|和書|title=A Morley configuration|last=Ehrmann|first=Jean-Pierre|last2=Gibert|first2=Bernard|year=2001|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=1|pages=51–58|name-list-style=amp}}.
* {{Citation|和書|title=The Simson cubic|last=Ehrmann|first=Jean-Pierre|last2=Gibert|first2=Bernard|year=2001|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=1|pages=107–114|name-list-style=amp}}.
* {{Citation|和書|title=Orthocorrespondence and orthopivotal cubics|last=Gibert|first=Bernard|year=2003|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=3|pages=1–27}}.
* {{Citation|title=Triangle Centers and Central Triangles|last=Kimberling|first=Clark|year=1998|journal=Congressus Numerantium|volume=129|pages=1–295}}. See Chapter 8 for cubics.
* {{Citation|和書|title=Cubics associated with triangles of equal areas|last=Kimberling|first=Clark|year=2001|url=https://www.researchgate.net/publication/241067469|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=1|pages=161–171}}.
* {{Citation|title=Geometry and group structures of some cubics|last=Lang|first=Fred|year=2002|journal=Forum Geometricorum|volume=2|pages=135–146}}.
* {{Citation|title=Cubic curves in the triangle plane|last=Pinkernell|first=Guido M.|year=1996|journal=Journal of Geometry|volume=55|issue=1–2|pages=142–161|doi=10.1007/BF01223040}}.
* {{Citation|title=Higher Plane Curves|last=Salmon|first=George|year=1879|url=https://books.google.com/books?id=pYGj2xY5Le4C|edition=3rd|publisher=Hodges, Foster, and Figgis|location=Dublin}}.

== 外部リンク ==

* [http://www.milefoot.com/math/planecurves/cubics.htm A Catalog of Cubic Plane Curves] [https://web.archive.org/web/20110717121751/http://staff.jccc.net/swilson/planecurves/cubics.htm (archived version)]
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/Intro&Zcubics.html Points on Cubics]
* [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/index.html Cubics in the Triangle Plane]
* [http://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/files/isocubics.html Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert]
* {{Cite web |title=Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University [2016] |publisher=Graduate Mathematics |date=June 27, 2018 |website=YouTube |url=https://www.youtube.com/watch?v=NfFnanzULhU |access-date=2024/3/24}} lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday
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[[Category:三次曲線| ]]
[[Category:数学に関する記事]]