三角分布のソースを表示

{{出典の明記| date = 2022年11月}}
{{確率分布
|名前 = 三角分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Triangular distribution PMF.png|325px|Plot of the Triangular PMF]]
|画像/分布関数 = [[画像:Triangular distribution CMF.png|325px|Plot of the Triangular CMF]]
|母数 = <math>a \in (-\infty ,\infty )</math><br /><math>b \in (a, \infty)</math><br /><math>c \in [a, b]</math>
|台 = <math>[a,b]</math>
|確率関数 = <math>\begin{cases}
  0 &\text{for } x<a, \\
  \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} &\text{for } a\le x<c, \\[4pt]
  \frac{2}{b-a}             &\text{for } x=c, \\[4pt]
  \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} &\text{for } c<x\le b, \\[4pt]
  0 &\text{for } b<x.
\end{cases}</math>
|分布関数 =<math>\begin{cases}
  0 &\text{for } x \le a, \\[2pt]
  \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} &\text{for } a<x \le c, \\[4pt]
  1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} &\text{for } c<x<b, \\[4pt]
  1 &\text{for } b\le x.
\end{cases}</math>
|期待値 = <math>\frac{a+b+c}{3}</math>
|中央値 = <math>\begin{cases}
a+\sqrt{\frac{(b-a)(c-a)}{2}} &\text{for } c \ge \frac{a+b}{2}, \\[6pt]
b-\sqrt{\frac{(b-a)(b-c)}{2}} &\text{for } c \le \frac{a+b}{2}.
\end{cases}</math>
|最頻値 = <math>c</math>
|分散 = <math>\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}</math>
|歪度 = <math>\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}</math>
|尖度 = <math>-\frac{3}{5}</math>
|エントロピー = <math>\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)</math>
|モーメント母関数 = <math>2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math>
|特性関数 = <math>-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math>
}}
[[確率論]]および[[統計学]]において、'''三角分布'''（さんかくぶんぷ、{{lang-en-short|triangular distribution}}）とは、区間 {{math|[''a'', ''b'']}} において次の[[確率密度関数]]を持った[[連続確率分布]]である。
:<math>f(x)=\begin{cases} 
  \cfrac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x < c, \\
  \cfrac{2}{b-a} & \mathrm{for\ } x = c, \\
  \cfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b .
\end{cases}</math>
ここで、パラメータ {{mvar|a}} は[[最小値]]、{{mvar|b}} は[[最大値]]、{{mvar|c}} は[[最頻値]]である。

三角分布の[[確率分布#累積分布関数|分布関数]]は
:<math>F(x)=\begin{cases}
  \cfrac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c, \\
  1-\cfrac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c<x\le b. 
\end{cases}</math>
三角分布の[[平均]] {{math|''E''(''X'')}} および[[分散 (確率論)|分散]] {{math|''V''(''X'')}} は、
:<math>E(X)=\frac{a+b+c}{3}</math>
:<math>V(X)=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}</math>

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:さんかくふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]