三角形の円錐曲線のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年5月}}

[[ユークリッド幾何学]]において、'''三角形の円錐曲線'''または'''三角形の二次曲線'''（[[英語|英]]:Triangle conic）は[[三角形]]に定義される、[[円錐曲線]]の総称である。 たとえば、[[外接円]]や[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]、[[シュタイナー楕円]]、[[キーペルト双曲線]]が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、[[アルツト放物線]]のようなものもある<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |year=1915 |publisher=[[山海堂 (出版部)|山海堂]] |page=853 |doi=10.11501/1082037 |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている （<ref>{{Cite journal|last=Paris Pamfilos|date=2021|title=Equilaterals Inscribed in Conics|journal=International Journal of Geometry|volume=10|issue=1|pages=5–24}}</ref><ref>{{Cite web |author=Christopher J Bradley |title=Four Triangle Conics |url=https://people.bath.ac.uk/masgcs/ |website=Personal Home Pages |publisher=University of BATH |access-date=11 November 2021}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Gotthard Weise|date=2012|title=Generalization and Extension of the Wallace Theorem|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201201index.html|journal=Forum Geometricorum|volume=12|pages=1–11|accessdate=12 November 2021}}</ref><ref>{{Cite web |author=Zlatan Magajna |title=OK Geometry Plus |url=https://www.ok-geometry.com/binary/downloaddoc/id/14 |website=OK Geometry Plus |access-date=12 November 2021}}</ref>などを参照）。[[ギリシャ]]の数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が[[接線|外接]]するとは、{{Math|△''ABC''}}の[[頂点]]3つを通ることであり、円錐曲線が[[内接図形|内接]]するとは3辺に[[接する]]ことである」と述べた<ref>{{Cite web |title=Geometrikon |url=http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/Gallery.html |website=Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming |publisher=Paris Palmfilos |access-date=11 November 2021}}</ref><ref>{{Cite web |title=1. Triangle conics |url=http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/TriangleConics.html |website=Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming |publisher=Paris Palfilos |access-date=11 November 2021}}</ref>。三角形の[[円 (数学)|円]]、[[楕円]]、[[放物線]]、[[双曲線]]（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

[[Encyclopedia of Triangle Centers]]や[[Catalogue of Triangle Cubics]]のような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない<ref>{{Cite web |author=Bernard Gibert |title=Catalogue of Triangle Cubics |url=http://bernard-gibert.fr/ |website=Cubics in Triangle Plane |publisher=Bernard Gibert |access-date=12 November 2021}}</ref>。

== 三線座標による式 ==
[[三線座標]]{{Math|''x'' : ''y'' : ''z''}}を用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。<math display="block">rx^2 + sy^2 + tz^2 + 2uyz + 2vzx + 2wxy = 0.</math>うち、[[接円錐曲線|外接円錐曲線と内接円錐曲線]]は以下の式で表すことができる。<math display="block">\begin{align}
& uyz + vzx + wxy = 0 \\[2pt]
& l^2 x^2 + m^2 y^2 + n^2 z^2 - 2mnyz - 2nlzx - 2lmxy = 0
\end{align}</math>

== 特別な三角形の円錐曲線 ==
以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形を{{Math|△''ABC''}} 、頂点及び角を{{Mvar|A, B, C}}、その対辺をそれぞれ{{Mvar|a, b, c}}、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数を{{Math|''x'' : ''y'' : ''z''}}とする。

=== 三角形の円 ===
{| class="wikitable"
|+有名な三角形の円<ref>{{Cite journal |author=Cook, Nelle May |year=1929 |title=A triangle and its circles |url=https://hdl.handle.net/2097/23902 |hdl=2097/23902 |quote=Call issue: LD2668 .T4 1929 C65 |access-date=2024-06-19}}</ref>
!No.
!名称
!定義
!等式
!図
|-
|1
|[[外接円]]
|頂点3つを通る円
| style="text-align: center;" |<math> \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0</math>
|[[ファイル:CircumCircleOFTriangleABC.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}の外接円]]
|-
|2
|[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]
|3辺に接する内側の円
| style="text-align: center;" |<math>\pm\sqrt{x}\cos\frac{A}{2} \pm \sqrt{y}\cos\frac{B}{2} \pm \sqrt{z}\cos\frac{C}{2} = 0</math>
|[[ファイル:InCircleOFTriangleABC.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}の内接円]]
|-
|3
|[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]
|辺の一つとは辺の内部で接し、他2辺とは延長線上で接する円
| style="text-align: center;" |<math>\begin{align}
  \pm\sqrt{-x}\cos\frac{A}{2} \pm \sqrt{y}\cos\frac{B}{2} \pm \sqrt{z}\cos\frac{C}{2} &= 0 \\[2pt]
  \pm\sqrt{x}\cos\frac{A}{2} \pm \sqrt{-y}\cos\frac{B}{2} \pm \sqrt{z}\cos\frac{C}{2} &= 0 \\[2pt]
  \pm\sqrt{x}\cos\frac{A}{2} \pm \sqrt{y}\cos\frac{B}{2} \pm \sqrt{-z}\cos\frac{C}{2} &= 0
\end{align}</math>
|
[[ファイル:Incircle_and_Excircles.svg|右|サムネイル|内接円と傍接円]]
|-
|4
|[[九点円]]
|辺の[[中点]]、[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]の足、[[垂心]]と頂点の中点などを通る円
| style="text-align: center;" |<math>\begin{align}
  & x^2\sin 2A  + y^2\sin 2B + z^2\sin 2C \ - \\
  & 2(yz \sin A + zx \sin B + xy \sin C) = 0 \end{align}</math>
|[[ファイル:Triangle.NinePointCircle.svg|サムネイル|九点円]]
|-
|5
|第一[[類似中線|ルモワーヌ円]]
|[[ルモワーヌ点]]を通り、各辺に平行な線と、他2辺の交点を通る円<ref>{{Cite web |title=First Lemoine Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/FirstLemoineCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-05-05 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>
|
|[[ファイル:LemoineCircleOfTriangleABC.png|サムネイル|第一ルモワーヌ円]]
|}

=== 三角形の楕円 ===
{| class="wikitable"
|+有名な三角形の楕円
!No.
!名称
!定義
!等式
!図
|-
|1
|[[シュタイナー楕円|シュタイナー外接楕円]]
|{{Math|△''ABC''}}の頂点を通り、[[幾何中心|重心]]を中心に持つ楕円
| style="text-align: center;" |<math>\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}=0</math>
|[[ファイル:SteinerCircleOfTriangleABC.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のシュタイナー楕円]]
|-
|2
|[[シュタイナーの内接楕円]]
|各辺と接し、重心を中心にもつ楕円
| style="text-align: center;" |<math>\begin{align}
  &a^2 x^2 + b^2 y^2 + c^2 z^2 - \\
  &2bcyz - 2cazx - 2abxy = 0
\end{align}</math>
|[[ファイル:SteinerInellipseOfTriangleABC.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のシュタイナーの内接楕円]]
|-
|}

=== 三角形の双曲線 ===
{| class="wikitable"
|+三角形の双曲線
!No.
!名称
!定義
!等式
!図形
|-
|1
|[[キーペルト双曲線]]
|3つの相似な[[二等辺三角形]]{{Math|△''XBC''}}, {{Math|△''YCA''}}, {{Math|△''ZAB''}}, を三角形の同じ側に作ったとき{{Mvar|AX, BY, CZ}}が交わる点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]
| style="text-align: center;" |<math>\frac{\sin(B-C)}{x} + \frac{\sin(C-A)}{y} + \frac{\sin(A-B)}{z} = 0</math>
|[[ファイル:Kiepert_Hyperbola.svg|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のキーペルト双曲線。垂心{{Mvar|O}}と重心{{Mvar|G}}、頂点{{Mvar|A, B, C}}を通る。.]]
|-
|2
|[[ジェラベク双曲線]]
|三角形の頂点、垂心、[[外接円|外心]]を通る双曲線
| style="text-align: center;" |<math>\begin{align} 
  &\frac{a(\sin 2B - \sin 2C)}{x} + \frac{b(\sin 2C - \sin 2A)}{y} \\[2pt] 
  &+ \frac{c(\sin 2A - \sin 2B)}{z} = 0
\end{align}</math>
|[[ファイル:JerabekHyperbolaOfTriangleABC.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のジェラベク双曲線]]
|-
|3
|[[フォイエルバッハ双曲線]]
|三角形の頂点、垂心、[[内接円|内心]]を通る円
|<math>\begin{align}
 & \frac{\cos B - \cos C}{x}+ \frac{\cos C - \cos A}{y}\\
 & + \frac{\cos A - \cos B}{z}=0
\end{align}</math>
|[[ファイル:Feuerbach Hyperbola.svg|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のフォイエルバッハ双曲線]]
|-
|}

=== 三角形の放物線 ===
{| class="wikitable"
|+有名な三角形の放物線
!No.
!名称
!定義
!等式
!図
|-
|1
|[[アルツト放物線]]<ref>{{Cite journal|last=Nikolaos Dergiades|date=2010|title=Conics Tangent at the Vertices to Two Sides of a Triangle|journal=Forum Geometricorum|volume=10|pages=41–53}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201007.pdf |title=Conics Tangent at the Vertices to Two Sides of a Triangle |access-date=2024/5/6 |publisher=Forum Geometricorum}}</ref><ref name=":0" />
|{{Mvar|B, C}}で{{Mvar|AB, AC}}と接する放物線（他2組についても同様）
| style="text-align: center;" |<math> \begin{align}
  \frac{x^2}{a^2} - \frac{4yz}{bc} & = 0 \\[2pt]
  \frac{y^2}{b^2}-\frac{4zx}{ca} & = 0 \\[2pt]
  \frac{z^2}{c^2} -\frac{4xy}{ab} & = 0 
\end{align}</math>
|[[ファイル:ArtztParabolas.png|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のアーツ放物線]]
|-
|2
|[[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]<ref>{{Cite journal|last=R H Eddy and R Fritsch|date=June 1994|title=The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Tr|journal=Mathematics Magazine|volume=67|issue=3|pages=188–205|doi=10.1080/0025570X.1994.11996212}}</ref>
|3つの相似な二等辺三角形{{Math|△''A'BC''}}, {{Math|△''AB'C''}}, {{Math|△''ABC' ''}}を同じ側に作ったとき、{{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''A'B'C' ''}} の[[配景]]の軸が成す[[包絡線]]
| style="text-align: center;" |<math>\begin{align}
  & f^2 x^2 + g^2 y^2 + h^2 z^2 - \\[2pt]
  & 2fgxy - 2ghyz - 2 hfzx = 0, \\[8pt]
  & \text{where } f = b^2 - c^2, \\ 
  & g = c^2 - a^2, \ h = a^2 - b^2.
\end{align}</math>
|[[ファイル:KiepertParabola.png|サムネイル| {{Math|△''ABC''}}のキーペルト放物線。{{Mvar|LMN}}の包絡線である。]]
|-
|}

== 三角形の円錐曲線の族 ==

=== ホフスタッター楕円 ===
[[ファイル:Hofstadter.gif|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}のホフスタッター楕円]]
[[ダグラス・ホフスタッター|ホフスタッター]]楕円（Hofstadter ellipses）はある[[媒介変数]]によってあらわされる楕円の集合である<ref>{{Cite web |author=Weisstein, Eric W. |title=Hofstadter Ellipse |url=https://mathworld.wolfram.com/HofstadterEllipse.html |website=athWorld--A Wolfram Web Resource. |publisher=Wolfram Research |access-date=25 November 2021}}</ref>。<math display="block">x^2 + y^2 + z^2 + yz\left[D(t) + \frac{1}{D(t)}\right] + zx\left[E(t) + \frac{1}{E(t)}\right] + xy\left[F(t) + \frac{1}{F(t)}\right]  = 0</math>ただし {{Mvar|t}} は媒介変数で<math display="block">\begin{align}
  D(t) &= \cos A - \sin A \cot tA \\ 
  E(t) &= \cos B - \sin B \cot tB \\
  F(t) &= \cos C - \sin C \cot tC
\end{align}</math>である。 {{Mvar|t}} と {{Math|1 &minus; ''t''}} が表す楕円は等しい。また {{Math|1=''t'' = 1/2}}のとき内接楕円<math display="block">x^2+y^2+z^2 - 2yz- 2zx - 2xy  =0</math>となり {{Math|''t'' → 0}}とすると外接楕円<math display="block">\frac{a}{Ax}+\frac{b}{By}+\frac{c}{Cz}=0.</math>となる。

=== トムソン円錐曲線とダルブー円錐曲線 ===
トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の[[法線]]が[[共点]]である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]である。双方の共点は、[[三次曲線#ダルブー三次曲線|ダルブ―三次曲線]]上にある<ref>{{Cite journal|last=Roscoe Woods|date=1932|title=Some Conics with Names|journal=Proceedings of the Iowa Academy of Science|volume=39 Volume 50|issue=Annual Issue}}</ref><ref>{{Cite web |title=K004 : Darboux cubic |url=http://bernard-gibert.fr/Exemples/k004.html |website=Catalogue of Cubic Curves |publisher=Bernard Gibert |access-date=26 November 2021}}</ref>。

=== 平行線との交点により構成される円錐曲線 ===
[[ファイル:EllipseOfParallelIntercepts.png|サムネイル|平行線によって構築される円錐曲線]]''{{Mvar|△ABC}}''と点''{{Mvar|P}}''について、''{{Mvar|P}}''を通る''{{Mvar|BC,CA,AB}}''に平行な線と、他2辺との交点をそれぞれ{{Mvar|X<sub>b</sub>, X<sub>c</sub>, Y<sub>c</sub>, Y<sub>a</sub>, Z<sub>a</sub>, Z<sub>b</sub>}}とする。この6点は同一円錐曲線上にある。特に''{{Mvar|P}}''が[[類似重心]]であるとき円となる。''{{Mvar|P}}''の三線座標を''{{Mvar|u:v:w}}''とすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される<ref>{{Cite book |last=Paul Yiu |title=Introduction to the Geometry of the Triangle |date=Summer 2001 |page=137 |url=https://mathwo.github.io/assets/files/barycentric/introduction_to_the_geometry_of_the_triangle.pdf |access-date=26 November 2021}}</ref>。<math display="block">-(u + v + w)^2(bcuyz + cavzx + abwxy) + (ax + by + cz)(vw(v + w)ax + wu(w + u)by + uv(u + v)cz) = 0</math>


=== 九点円錐曲線 ===
[[ファイル:Nine point conic.svg|サムネイル|九点円錐曲線]]
{{詳細記事|九点円錐曲線}}
{{Mvar|△ABC}}と点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|AB,BC,CA,AP,BP,CP}}の[[中点]]と、{{Mvar|AB,CP}}、{{Mvar|BC,AP}}、{{Mvar|CA,BP}}の交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という<ref>{{Cite web |url=https://nnn.ed.jp/about/club/kenkyubu/pdf/2022/kiyou_07.pdf |title=初等幾何における円錐曲線の活躍 |access-date=2024/5/6 |publisher=角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bocher|first=Maxime|date=1892|title=On a Nine-Point Conic|url=https://www.jstor.org/stable/1967142|journal=Annals of Mathematics|volume=6|issue=5|pages=132–132|doi=10.2307/1967142|issn=0003-486X}}</ref><ref>{{Cite web |title=Nine-Point Conic |url=https://mathworld.wolfram.com/Nine-PointConic.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-05-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。{{Mvar|P}}が垂心のとき円（[[九点円]]）、重心のとき内接楕円（[[シュタイナーの内接楕円]]）となる。

=== イフ円錐曲線 ===
[[ファイル:YffConics.gif|サムネイル|イフ円錐曲線]]
媒介辺数 <math>\lambda</math>を用いて、<math display="block">x^2+y^2+z^2-2\lambda(yz+zx+xy)=0,</math>で表される円錐曲線を'''イフ円錐曲線'''（Yff conics）という<ref>{{Cite journal|last=Clark Kimberling|date=2008|title=Yff Conics|journal=Journal for Geometry and Graphics|volume=12|issue=1|pages=23–34}}</ref> 。任意の点{{Math|''P''(''u'' : ''v'' : ''w'')}}によって<math>\lambda</math>は<math display="block">\lambda=\frac{u^2+v^2+w^2}{2(vw+wu+uv)}.</math>で表される。特に放物線（[[イフ放物線]]、Yff parabola）の時は<math display="block">\lambda=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2-2(bc+ca+ab)}=\lambda_0</math>である。

<math>\lambda < \lambda_0</math> または <math>\lambda > \frac{1}{2}</math>のとき楕円、 <math>\lambda_0 < \lambda < -1</math>のとき双曲線となる。 <math> -1 < \lambda <\frac{1}{2}</math>のときは、座標平面上には表れない。

=== ラビノヴィッツ円錐曲線 ===
[[ファイル:RabinowitzConic.svg|サムネイル|ラビノヴィッチ円錐曲線]]
{{Mvar|△ABC}}と点{{Mvar|P}}について、同じ向きに{{Mvar|1=AP//BD//CE,BP//CG//AF,CP//AH//BI}}で、{{Mvar|1=AP=AF=AH,BP=BD=BI,CP=CE=CG}}を満たすように点{{Mvar|D,E,F,G,H,I}}をとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う<ref>{{Cite web |url=https://www.esuppa.it/Articoli/Rabinowitz-Suppa-Altintas-VanLamoen_RabinowitzConic.pdf |title=Rabinowitz Conics Associated with a Triangle |access-date=2024/5/6 |publisher=International Journal of Computer Discovered Mathematics}}</ref>。

== 関連 ==

* [[三角形の中心]]
* [[中心線 (幾何学)|Central line]]
* {{仮リンク|中心三角形|en|Central triangle}}
* [[三次曲線#三角形の三次曲線|三角形の三次曲線]]
* [[近代三角形幾何学]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:さんかくけいのえんすいきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]