三角関数の公式の一覧のソースを表示

[[Image:Unit circle angles color.svg|class=skin-invert-image|300px|thumb|right|[[単位円]]と[[三角関数|サイン・コサイン]]の値(x軸:cos,y軸:sin)]]

'''三角関数の公式'''（さんかくかんすうのこうしき）は、[[角度]]に関わらず成り立つ[[三角関数]]の[[恒等式]]である。

== 定義 ==
=== 角 ===
この記事内で、角は原則として {{mvar|[[α]]}}, {{mvar|[[β]]}}, {{mvar|[[γ]]}}, {{mvar|[[θ]]}} といった[[ギリシア文字]]か、{{mvar|[[x]]}} を使用する。

角度の単位としては原則として[[ラジアン]] (rad, 通常単位は省略) を用いるが、[[度 (角度)|度]] (°) を用いる場合もある。
: 1周 = 360度 = 2{{mvar|&pi;}}ラジアン
主な角度の度とラジアンの値は以下のようになる：
{|class="wikitable" style=" text-align: center;"
|-
! 度数法（°）
| 30° || 60° || 120° || 150°
| 210° || 240° || 300° || 330°
|-
! 弧度法（ラジアン）
| <math>\frac\pi6\!</math> || <math>\frac\pi3\!</math> || <math>\frac{2\pi}3\!</math> || <math>\frac{5\pi}6\!</math>
| <math>\frac{7\pi}6\!</math> || <math>\frac{4\pi}3\!</math> || <math>\frac{5\pi}3\!</math> || <math>\frac{11\pi}6\!</math>
|-
|colspan="9"|
|-
! 度数法（°）
| 45° || 90° || 135° || 180°
| 225° || 270° || 315° || 360°
|-
! 弧度法（ラジアン）
| <math>\frac\pi4\!</math> ||style=""| <math>\frac\pi2\!</math> || <math>\frac{3\pi}4\!</math> ||style=""| <math>\pi\!</math>
| <math>\frac{5\pi}4\!</math> || <math>\frac{3\pi}2\!</math> || <math>\frac{7\pi}4\!</math> ||style=""| <math>2\pi\!</math>
|}

記事内では主にラジアンを使用し、度の場合には別記するか度を示す記号（°）を付記する。

=== 三角関数 ===
最も基本的な関数は正弦関数（サイン、sine）と余弦関数（コサイン、cosine）である。これらは {{math|sin(''&theta;'')}}, {{math|cos(''&theta;'')}} または[[括弧]]を略して {{math|sin ''&theta;''}}, {{math|cos ''&theta;''}} と記述される（{{mvar|&theta;}} は対象となる角の大きさ）。

正弦関数と余弦関数の比を正接関数（タンジェント、tangent）と言い、具体的には以下の式で表される：
:<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math>

上記3関数の逆数関数を余割関数（コセカント、cosecant）・正割関数（セカント、secant）・余接関数（コタンジェント、cotangent）と言う。余割関数の略称には cosec と csc の2種類があり、この記事では csc を使用する。
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.</math>

=== 逆関数 ===
三角関数の[[逆写像|逆関数]]を[[逆三角関数]]と言う。日本語においては'''逆'''正弦関数のように頭に「逆」を付けて呼ぶ。式中では sin<sup>&minus;1</sup> のように右肩に "&minus;1" を付けるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付ける。このarcは弧という意味がある。

この記事では逆関数として以下の表記を採用する：
{|class="wikitable" style=" text-align: center;"
|-
! 関数
| sin
| cos
| tan
| sec
| csc
| cot
|-
! 逆関数
| arcsin
| arccos
| arctan
| arcsec
| arccsc
| arccot
|}

三角関数は[[周期関数]]なので、逆関数は[[多価関数]]である。

逆関数の性質から以下が成り立つ：
:<math>\sin(\arcsin x) = x,\!</math>
:<math>\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{for }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.</math>

===その他、総和記号・総乗記号など===
いくつかの[[数学記号の表|数学記号]]は[[中等教育]]の[[課程]]（[[中学校]]の課程・[[高等学校]]の課程・[[中等教育学校]]の課程など）で紹介されていないため、詳しくは[[数学記号の表#代数学の記号]]など参照のこと。

*[[総和]]記号:[[Σ|<math>\textstyle\sum</math>]]
*[[総乗]]記号:[[Π|<math>\textstyle\prod</math>]]

== ピタゴラスの定理 ==
[[ピタゴラスの定理]]や[[オイラーの公式]]などから以下の基本的な関係が導ける<ref>{{Cite web|和書
|title = オイラーの公式
|author = 稲津 將(北海道大学大学院理学研究院)
|url = http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/lecture/butsurisuugaku2/html/model/node4.html
|accessdate = 2014-10-07
}}</ref>。
:<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!</math>
ここで {{math|sin<sup>2</sup> ''θ''}} は {{math|(sin(''θ''))<sup>2</sup>}} を意味する。

この式を変形して、以下の式が導かれる：
:<math>\sin\theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}</math>
:<math>\cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}</math>

=== 関数同士の変換 ===
上の関係式を {{math|cos<sup>2</sup> ''θ''}} と {{math|sin<sup>2</sup> ''θ''}} で割ると、以下の関係式ができる：
:<math>1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\!</math>
:<math>1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\!</math>
これらの式から以下の関係を得る：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ 他の5種類の関数による表現<ref>オーム社『数学公式・数表ハンドブック』P.15</ref>
!
! scope="col" | <math> \sin \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \cos \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \tan \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \csc \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \sec \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \cot \theta\!</math>
|-
! <math> \sin \theta =\!</math>
| <math> \sin \theta\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! </math>
| <math> \frac{1}{\csc \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math> \cos \theta =\!</math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! </math>
| <math> \cos \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! </math>
| <math> \frac{1}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math> \tan \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\! </math>
| <math> \tan \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! </math>
| <math> \frac{1}{\cot \theta}\! </math>
|-
! <math> \csc \theta =\!</math>
| <math> \frac{1}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\! </math>
| <math> \csc \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\! </math>
|-
! <math> \sec \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math>
| <math> \frac{1}{\cos \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math> \sec \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\! </math>
|-
! <math> \cot \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math> \frac{1}{\tan \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math> \cot \theta\! </math>
|}

== 古い関数 ==
[[Image:Circle-trig6.svg|class=skin-invert-image|300px|right|thumb|単位円と角 ''&theta;'' に対する三角関数の関係。]]
三角関数から求められる versine, coversine, haversine, exsecant などの各関数は、かつて[[測量]]などに用いられた。例えば haversine は球面上の2点の距離を求めるのに使用された。haversineを使用すると関数表の表をひく回数を減らすことができるからである。 (参考：[[球面三角法]]) 今日ではコンピュータの発達により、これらの関数はほとんど使用されない。

versine と coversine は日本語では「正矢」「余矢」と呼ばれ、三角関数とともに[[八線表]]として1つの数表にまとめられていた。

{|class="wikitable" style=""
|-
! 名前
! 表記
! 値<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;78, 4.3.147</ref-->
|-
| versed sine, versine<br />正矢
|| <math>\operatorname{versin}\theta</math><br /><math>\operatorname{vers}\theta</math><br /><math>\operatorname{ver}\theta</math>
|| <math>1 - \cos\theta\!</math>
|-
| versed cosine, vercosine
|| <math>\operatorname{vercosin}\theta</math>
|| <math>1 + \cos\theta\!</math>
|-
| coversed sine, coversine<br />余矢
|| <math>\operatorname{coversin}\theta</math><br /><math>\operatorname{cvs}\theta</math>
|| <math>1 - \sin\theta\!</math>
|-
| coversed cosine, covercosine
|| <math>\operatorname{covercosin}\theta</math>
|| <math>1 + \sin\theta\!</math>
|-
| half versed sine, haversine
|| <math>\operatorname{haversin}\theta</math>
|| <math>\frac{1 - \cos\theta}{2}</math>
|-
| half versed cosine, havercosine
|| <math>\operatorname{havercosin}\theta</math>
|| <math>\frac{1 + \cos\theta}{2}</math>
|-
| half coversed sine, hacoversine<br />cohaversine
|| <math>\operatorname{hacoversin}\theta</math>
|| <math>\frac{1 - \sin\theta}{2}</math>
|-
| half coversed cosine, hacovercosine<br />cohavercosine
|| <math>\operatorname{hacovercosin}\theta</math>
|| <math>\frac{1 + \sin\theta}{2}</math>
|-
| exterior secant, exsecant
| <math>\operatorname{exsec}\theta</math>
| <math>\sec\theta - 1\!</math>
|-
| exterior cosecant, excosecant
| <math>\operatorname{excsc}\theta</math>
| <math>\csc\theta - 1\!</math>
|-
| chord<br />（[[弦 (数学)|弦]]の長さ）
| <math>\operatorname{crd}\theta</math>
| <math>2\sin\frac{\theta}{2}</math>
|}

== 対称性・周期性 ==
単位円と三角関数の関係を検討することにより、以下の性質が導かれる。

=== 対称性 ===
いくつかの線に対し対称な図形を考えることにより、以下の関係式を得ることができる。
{|class="wikitable" style=""
! <math>\theta=0 </math>（x軸）に対して対称<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13&ndash;15</ref-->
! <math>\theta= \pi/4</math>（直線 y=x）に対して対称<br />（co- が付く関数との関係）<!--ref>[http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html The Elementary Identities]</ref-->
! <math>\theta= \pi/2</math>（y軸）に対して対称
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|}

=== 移動と周期性 ===
単位円の図を回転させることにより、別の関係が得られる。π/2 の回転だとすべての関数が別の関数との関係を得られる。π または 2π の回転だと、同じ関数内での関係となる。

{|class="wikitable" style=""
!π/2 の移動
!π の移動<br/>tan と cot の周期<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.9</ref-->
!2π の移動<br/>sin, cos, csc, sec の周期<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7&ndash;8</ref-->
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}
</math>
|}

== 加法定理 ==
以下の式は「[[加法定理]]」として知られる。これらの式は、10世紀のペルシャの数学者[[アブル・ワファー]]によって最初に示された。これらの式は[[オイラーの公式]]を用いて示すことが可能である。

{|class="wikitable" style=""
! Sine
| align="center" | <math>\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref--><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref>
|-
! Cosine
| align="center" | <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math><ref name="mathworld_addition"/><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref-->
|-
! Tangent
| align="center" | <math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref-->
|-
! Arcsine
| align="center" | <math>\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.42</ref-->
|-
! Arccosine
| align="center" | <math>\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.43</ref-->
|-
! Arctangent
| align="center" | <math>\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.36</ref-->
|}
上記の表において複号は同順とする。

=== 回転行列の積 ===
加法定理によって、[[回転行列]]同士の積をまとめることができる。

: <math>
\begin{align}
& {} \quad
\left(\begin{array}{rr}
 \cos\phi & -\sin\phi \\
 \sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}
 \cos\theta & -\sin\theta \\
 \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
 \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta \\
 \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
 \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
 \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{array}\right)
\end{align}
</math>

=== 任意の個数の和 ===
==== 正弦関数と余弦関数 ====
正弦関数と余弦関数において、以下の式が成り立つ。

: <math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

: <math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

いずれの場合にも、「有限個の角の正弦関数と残りの角の余弦関数の積」の和となる。無限の和に見えるが、j 以上のすべての i で θ<sub>''i''</sub>=0 が成り立つ場合、j 以上の k は計算する必要がなく有限項の計算となる。

==== 正接関数 ====
''e''<sub>''k''</sub> (''k'' &isin; {0, ..., ''n''}) を ''k''次の基本対称式とする。
: <math>x_i = \tan \theta_i\,</math>
のとき ''i'' &isin; {0, ..., ''n''} に対して以下のようになる。
: <math>
\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \tan\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots
\end{align}
</math>

このとき正接関数の和は以下の式で表される。
: <math>\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\! </math>
この ''e'' は、''e<sub>n</sub>'' まで使用する。

例
: <math> \begin{align}
\tan(\theta_1 + \theta_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 }
,
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
\end{align}</math>

[[数学的帰納法]]を用いて証明が可能である。<!--ref>{{cite journal|last=Bronstein|first=Manual|title=Simplification of Real Elementary Functions|journal=Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation|year=1989|pages=211}}</ref-->

==== 正割関数と余割関数 ====
''e''<sub>''k''</sub> は前節同様正接関数の基本対称式とする。
: <math>
\begin{align}
\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
\csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
\end{align}
</math>

例
: <math>
\begin{align}
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma } \\[8pt]
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}
\end{align}
</math>

== 倍角公式 ==
{|class="wikitable" style=""
|-
! {{mvar|T<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}} 次の[[チェビシェフ多項式]]
| <math>\cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,</math> <ref name = "mathworld_multiple_angle"/>
|-
! {{mvar|S<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}} 次の spread 多項式
| <math>\sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,</math>
|-
! [[ド・モアブルの定理]]による（{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）
| <math>\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,</math> <!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.48</ref-->
|- 

! [[ディリクレ核]]
|<math>1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}</math>

|}

=== 倍角・三倍角・半角の公式 ===
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。

{|class="wikitable" style=""
!colspan="4"| 倍角<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24&ndash;26</ref--><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref>
|-
|style="vertical-align:top"|<math>\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!</math>
|<math>\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!</math>
|-
!colspan="4"| 三倍角<ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27&ndash;28</ref-->
|-
|<math>\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\
& = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}</math>
|<math>\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
& = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}</math>
|<math>\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!</math>
|<math>\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!</math>
|-
!colspan="4"| 半角<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20&ndash;22</ref--><ref name="mathworld_half_angle">{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>
|-
|<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>
|<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
|<math>\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt]
\tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
 \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &= \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
  \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}
    &= \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|} \\[8pt]\end{align}</math>
|<math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}\\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
\end{align}
</math>
|}

正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。

幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは[[角の三等分問題]]に相当する。この問題は、[[定規とコンパスによる作図|定規とコンパス]]を用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。

方程式 {{math|1=''x''<sup>3</sup> &minus; {{sfrac|3''x'' + ''d''|4}} = 0}}（正弦関数ならば {{math|1=''x'' = sin''θ'', ''d'' = sin(3''θ'')}} とする）の[[判別式]]は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。

=== {{anchors|n倍角の公式}}倍角の公式 ===
加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者[[フランソワ・ビエト]]によって示された。

:<math>

\begin{align}
\sin(n\theta) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right), \\
\cos(n\theta) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

\end{align}

</math>

ここで {{math|{{binom|''n''|''k''}}}} は[[二項係数]]である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。

:<math>

\begin{align}

\sin(n\theta) &= \binom{n}{1} \cos^{n-1}\theta \sin\theta - \binom{n}{3} \cos^{n-3}\theta \sin^3\theta + \cdots, \\

\cos(n\theta) &= \binom{n}{0} \cos^{n}\theta - \binom{n}{2} \cos^{n-2}\theta \sin^2\theta + \cdots.

\end{align}
</math>

ビエトの公式を利用し、正接関数と余接関数の倍角公式を[[漸化式]]として与えることができる。

:<math>

\begin{align}

\tan{((n+1)\theta)} &= \frac{\tan(n\theta) + \tan\theta}{1 - \tan(n\theta) \tan\theta}, \\
\cot{((n+1)\theta)} &= \frac{\cot(n\theta) \cot\theta - 1}{\cot{(n\theta)} + \cot\theta}.

\end{align}

</math>
また[[ド・モアブルの定理]]、あるいは[[オイラーの公式]]を利用し、以下のように表すことができる。

:<math>

\begin{align}

\cos(n\theta) &= \frac{1}{2}\left\{(\cos\theta + i \sin\theta)^n + (\cos\theta - i \sin\theta)^n\right\}, \\
\sin(n\theta) &= -\frac{i}{2}\left\{(\cos\theta + i\sin\theta)^n - (\cos\theta - i\sin\theta)^n\right\}, \\

\tan(n\theta) &= -i\frac{(1 + i\tan\theta)^n - (1 - i \tan\theta)^n}{(1 + i\tan\theta)^n + (1 - i \tan\theta)^n}

\end{align}

</math>

=== {{anchors|チェビシェフのメソッド}}チェビシェフの方法 ===
[[パフヌティ・チェビシェフ]]は、{{mvar|n}} 倍角の正弦関数と余弦関数の値を、{{math|(''n'' &minus; 1)}} 倍角と {{math|(''n'' &minus; 2)}} 倍角の値を用いて表す方法を発見している<ref>[http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm Ken Ward's Mathematics Pages]</ref>。

{{math|cos(''nx'')}} は、以下のように表される。

:<math>\cos(nx) = 2 \cdot \cos x \cdot \cos((n-1) x) - \cos((n - 2) x) \,</math>

同様に {{math|sin(''nx'')}} は以下のように表される。

:<math>\sin(nx) = 2 \cdot \cos x \cdot \sin((n-1)x) - \sin((n-2) x) \, </math>

{{math|tan(''nx'')}} は以下のようになる。

:<math>\tan(nx) = \frac{H + K \tan x}{K - H \tan x} \, </math>

ここで、{{math|1=''H''/''K'' = tan((''n'' &minus; 1)''x'')}} である。

=== 算術平均の正接関数 ===
{{math|''&alpha;'', ''&beta;''}} の[[算術平均]]の正接について以下が成り立つ。

:<math> \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}</math>

{{math|''α'', ''β''}} のいずれかが 0 である場合、これは正接関数の半角公式に一致する。

=== ビエトの無限積 ===
以下の式が成り立つ。

: <math> \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. </math>

最後の[[Sinc関数|sinc]]は、正弦関数を角の大きさで割ったものである。
:<math>\operatorname{sinc}x := \frac{\sin x}{x}.</math>

== べき乗 ==
余弦関数の倍角公式を変形することにより、以下の式が得られる。式の次数を下げるためによく用いられる。

{|class="wikitable" style=""
!正弦関数
!余弦関数
!その他
|-
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!</math>
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!</math>
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!</math>
|-
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!</math>
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!</math>
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!</math>
|-
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!</math>
|-
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!</math>
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!</math>
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!</math>
|}

[[ド・モアブルの定理]]・[[オイラーの公式]]・[[二項定理]]を用いると、以下のように一般化できる。

{|class="wikitable" style=""
!
!余弦関数
!正弦関数
|-
!n が奇数
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{ \left((n-2k)\theta \right)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{ \left(\frac{n-1}{2}-k \right)} \binom{n}{k} \sin{ \left((n-2k)\theta \right)}</math>
|-
!n が偶数
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{ \left((n-2k)\theta \right)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{ \left(\frac{n}{2}-k \right)} \binom{n}{k} \cos{ \left((n-2k)\theta \right)}</math>
|-
|}

== 和積公式と積和公式 ==
加法定理に（θ±φ）を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。

{|
|style="vertical-align:top"|
{|class="wikitable" style=""
!積和公式<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31&ndash;33</ref-->
|-
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|}
|
{|class="wikitable" style=""
!和積公式<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34&ndash;39</ref-->
|-
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math>
|}
|}

=== エルミートの無限積 ===
[[シャルル・エルミート]]は、複素関数に関する以下の式を示した。<!--ref>Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities &agrave; la Hermite", ''[[American Mathematical Monthly]]'', volume 117, number 4, April 2010, pages 311&ndash;327</ref-->

[[複素数]] ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。

: <math> A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j) </math>

と置く（''A''<sub>1,1</sub> のときこの値は1とする）と、以下の式が成り立つ。

: <math> \cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).</math>

自明でない単純な例として、''n'' = 2 のときの例をあげる。

: <math> \cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2) </math>

== 合成公式 ==
正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。

:<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,</math>

ここで、φの値は以下の式で与えられる。

:<math>
\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{if }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a < 0,
\end{cases}
</math>

または

:<math>
\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if }a \ge 0, \\
\pi & \text{if }a < 0,
\end{cases}
</math>


位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。

:<math>a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,</math>

ここで c と β の値は以下の式で与えられる。

:<math>c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,</math>

:<math>
 \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{if } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}
</math>

== その他の和に関する公式 ==
正弦関数と余弦関数の和に関する以下のような公式がある<ref>Michael P. Knapp, [http://evergreen.loyola.edu/mpknapp/www/papers/knapp-sv.pdf Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression]</ref>。
:<math>
\begin{align}
& \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \\[10pt]
& \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
\end{align}
</math>

正接関数と正割関数に関して以下の式が成り立つ。
:<math>\tan x + \sec x = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right)=\exp\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)</math>
ただし、<math>\operatorname{gd}^{-1} x</math> は[[グーデルマン関数]]の[[逆関数法|逆関数]]である。

== メビウス変換 ==
''ƒ''(''x'') と ''g''(''x'') を以下のような[[メビウス変換]]関数として定義する。

: <math> f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, </math>
: <math> g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta}, </math>

このとき以下が成り立つ。

: <math> f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. </math>

以下のように書くこともできる。

: <math> f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, </math>

== 逆三角関数に関する公式 ==
:<math> \arcsin x +\arccos x = \frac\pi{2}</math>
:<math> \arctan x +\arccot x =\frac\pi{2}.</math>
:<math>\arctan x +\arctan \frac{1}{x} = \left\{ \begin{matrix}
  \frac\pi{2}, &\mbox{if }x>0 \\
   -\frac\pi{2}, &\mbox{if }x<0
\end{matrix}\right.</math>

=== 逆三角関数同士の関係 ===
{|class="wikitable"
!
!arccos
!arcsin
!arctan
!arccot
|-
!arccos
|
|<math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\arccos x = \arctan \frac {\sqrt{1-x^2}}x</math>
|<math>\arccos x = \arccot \frac x{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
!arcsin
|<math>\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2}</math>
|
|<math>\arcsin x = \arctan \frac x{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\arcsin x = \arccot \frac 1{\sqrt{1+x^2}}</math>
|-
!arctan
|<math>\arctan x = \arccos \frac 1{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\arctan x = \arcsin \frac x{\sqrt{1+x^2}}</math>
|
|<math>\arctan x = \arccot \frac 1x</math>
|-
!arccot
|<math>\arccot x = \arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\arccot x = \arcsin \frac {\sqrt{1-x^2}}x</math>
|<math>\arccot x = \arctan \frac 1x</math>
|
|}

=== 逆三角関数の和に関する公式 ===
{|class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! 式
! 和
! 条件
|--
|- style="text-align:center"
| <math>\arcsin x + \arcsin y=</math>
| <math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>xy\leq 0</math> または <math>x^2+y^2\leq 1</math>
|--
|- style="text-align:center"
|
| <math>\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x>0</math> かつ <math>y>0</math> かつ <math>x^2+y^2> 1</math>
|--
|- style="text-align:center"
|
| <math>-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x<0</math> かつ <math>y<0</math> かつ <math>x^2+y^2> 1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
| <math>\arcsin x - \arcsin y=</math>
| <math>\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>xy\geq 0</math> または <math>x^2+y^2\leq 1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
|
| <math>\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x>0</math> かつ <math>y<0</math> かつ <math>x^2+y^2> 1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
|
| <math>-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right)</math>
| <math>x<0</math> かつ <math>y>0</math> かつ <math>x^2+y^2> 1</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>\arccos x + \arccos y=</math>
| <math>\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y\geq 0</math>
|--
|- style="text-align:center"
|
| <math>2\pi - \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y<0</math>
|--
|- style="text-align:center;"
| <math>\arccos x - \arccos y=</math>
| <math>-\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y\geq 0</math>
|--
|- style="text-align:center;"
|
| <math>\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)</math>
| <math>x+y<0</math>
|--
|- style="text-align:center"
| <math>\arctan x + \arctan y=</math>
| <math>\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>xy< 1</math>
|--
|- style="text-align:center"
|
| <math>\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>x>0</math> かつ <math>xy>1</math>
|--
|- style="text-align:center"
|
| <math>-\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
| <math>x<0</math> かつ <math>xy>1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
| <math>\arctan x - \arctan y=</math>
| <math>\arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>xy> -1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
|
| <math>\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>x>0</math> かつ <math>xy<-1</math>
|--
|- style="text-align:center;"
|
| <math>-\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)</math>
| <math>x<0</math> かつ <math>xy<-1</math>
|}

=== 逆三角関数と三角関数 ===
{|class="wikitable" style=""
|<math>\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
|<math>\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
|<math>\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|}

== 複素関数 ==
以下において、<math>i</math> は[[虚数単位]]とする。

:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47</ref--> （[[オイラーの公式]]）

:<math>e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)</math>

:<math>e^{i\pi} = -1</math> （[[オイラーの等式]]）

: <math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2</ref-->

: <math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;</math><!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.1</ref-->

: <math>\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>

== 無限乗積による表現 ==
{{See also|数学記号の表#代数学の記号}}
いくつかの関数は、無限乗積の形で表すことができる。<math>\prod_{n = 1}^\infty</math>は[[総乗#定義|総乗]]を示す。

{{col-start}}
{{col-2}}
: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>
{{col-2}}
: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 \left (n - \frac{1}{2} \right )^2}\right)</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 \left (n - \frac{1}{2} \right)^2}\right)</math>

: <math>|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}</math>
{{col-end}}

== 三角形 ==
α, β, γ が[[三角形]]の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。

:<math>\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,</math>

:<math>\cot \beta \cdot \cot \gamma + \cot \gamma \cdot \cot \alpha + \cot \alpha \cdot \cot \beta =1</math>

:<math>\cot \frac{\alpha }{2}+ \cot \frac{\beta }{2}+ \cot \frac{\gamma }{2}= \cot \frac{\alpha }{2} \cdot \cot \frac {\beta }{2} \cdot \cot \frac{\gamma }{2}</math>

:<math>\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1</math>

:<math>\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}</math>

:<math>-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2} </math>

:<math>\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1</math>

:<math>-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1</math>

:<math> \sin (2\alpha) +\sin (2\beta) +\sin (2\gamma) =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,</math>

:<math>-\sin (2\alpha) +\sin (2\beta) +\sin (2\gamma) =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,</math>

:<math> \cos (2\alpha) +\cos (2\beta) +\cos (2\gamma) =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1 \,</math>

:<math>-\cos (2\alpha) +\cos (2\beta) +\cos (2\gamma) =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1 \,</math>

:<math>\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2 \,</math>

:<math>-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,</math>

:<math>\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1 \,</math>

:<math>-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1 \,</math>

:<math>\sin ^{2} (2\alpha) +\sin ^{2} (2\beta) +\sin ^{2} (2\gamma) =-2\cos (2\alpha) \,\cos(2\beta) \,\cos (2\gamma)+2</math>

:<math>\cos ^{2} (2\alpha) +\cos ^{2} (2\beta) +\cos ^{2} (2\gamma) =2\cos (2\alpha) \,\cos (2\beta) \,\cos (2\gamma) +1</math>

== 特定の角度に関する式 ==
以下の式が成り立つ。
:<math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}</math> （[[モリーの法則]]）
この式は以下の式の特殊な場合である。

:<math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos \left(2^j x \right)=\frac{\sin \left(2^k x \right)}{2^k\sin(x)}.</math>

以下の式も同じ値を持つ。
:<math> \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, </math>

正弦関数では以下の式が成り立つ。
:<math>\sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ = \frac{1}{8}.</math>
:<math>\sin 15^\circ \cdot \sin 75^ \circ = \frac{1}{4}.</math>
:<math>\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.</math>
余弦関数では以下の式が成り立つ。
:<math>\cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}.</math>
:<math>\cos 15^\circ \cdot \cos 75^ \circ = \frac{1}{4}.</math>

上の式を利用して以下の式が得られる。
:<math>\tan 50^\circ+\tan 60^\circ+\tan 70^\circ=\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ=\tan 80^\circ.</math>

以下の式は単純である。
:<math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.</math>

上の式を一般化する場合分母に21が出てくるため、単位として度よりもラジアンを使用した方がよい。
:<math>
\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}
</math>

係数に登場する 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小さく 21 と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な全ての自然数である。この式は[[円分多項式]]に関係している。

以下の関係から導かれる式もある。
:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}</math>

:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin \left(\pi n/2 \right)}{2^{n-1}} </math>

これらを組み合わせると、以下の式になる。

:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin \left(\pi n/2 \right)}</math>

n を奇数に限定すると、以下の式が得られる。

:<math> \prod_{k=1}^{m} \tan\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}</math>

=== &pi;の計算 ===
[[円周率]]の計算において、以下の[[マチンの公式]]はよく使用される。
:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math>

[[レオンハルト・オイラー]]は、以下の式を示している。
:<math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.</math>

=== よく使用される値 ===
正弦関数と余弦関数において、値が <math>\scriptstyle\sqrt{n}/2</math> （ただし 0 ≤ ''n'' ≤ 4）の形になるものは、覚えやすい値である。
:<math>
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0
\end{matrix}
</math>

=== 黄金比 ===
一部の角に対する値は、[[黄金比]] φ を用いて表すことができる。

:<math>\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}
</math>

:<math>\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}</math>

=== ユークリッドによる式 ===
ユークリッドは[[ユークリッド原論|原論]]13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。
:<math>\sin^2{18^\circ}+\sin^2{30^\circ}=\sin^2{36^\circ}. \, </math>

== 微積分 ==
[[微分積分学]]の分野においては、角度はラジアンを使用する。

微積分において、極限に関する2つの重要な式がある。1つは
:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,</math>
である。この式は[[はさみうちの原理]]から導くことができる。もう1つは以下の式である。
:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,</math>

これらの式と加法定理などを利用して、以下の式を導くことができる。
:<math>{d \over dx}\sin x = \cos x</math>

以下に三角関数と逆三角関数の微分を示す。
:<math>
\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2} \\ \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2} \\ \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}
</math>

積分に関しては[[三角関数の原始関数の一覧]]を参照。

三角関数（特に正弦関数と余弦関数）の導関数と原始関数が三角関数であらわされることは、[[微分方程式]]やフーリエ解析を含む数学の多くの分野で有用である。

== 指数関数による定義 ==
{| class="wikitable" style=""
!関数
!逆関数<!--ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.26&ndash;31</ref-->
|-
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,</math>
|<math>\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math>
|-
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,</math>
|<math>\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>
|-
|<math>\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,</math>
|<math>\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,</math>
|-
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,</math>
|-
!
!
|-
|<math>\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,</math>
|<math>\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,</math>
|}

== その他 ==
=== ワイエルシュトラスの置換 ===
(Weierstrass substitution) 以下の変換は、[[カール・ワイエルシュトラス]]の名がつけられている。

:<math>t = \tan\frac{x}{2}</math>
とおくと、

: <math>\sin x = \frac{2t}{1 + t^2},\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t},\mathrm{d}x = \frac{2 \,\mathrm{d}t}{1 + t^2}</math>
となる。

積分の計算において、被積分関数がｘの三角関数の有理関数 R (sin x, cos x) である場合にこの変換を用いると、t についての[[有理関数]]の積分の計算に帰着することができる。

=== 応用例 ===
sinの3倍角の公式を加法定理で変形すると、
:<math>\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}</math>　から、
:<math>\frac{\sin{3x}}{4}= \sin{x} \cdot \left( \frac{3}{4}-\sin^2{x} \right)</math><math>= \sin{x} \cdot \left( \sin^2{60^\circ}-(\sin^2{60^\circ}+\cos^2{60^\circ})\cdot\sin^2{x} \right)</math><math>= \sin{x} \cdot \left( \sin^2{60^\circ}\cdot(1-\sin^2{x})-\cos^2{60^\circ}\cdot\sin^2{x} \right)</math>
:<math>= \sin{x} \cdot \left( \sin^2{60^\circ}\cdot\cos^2{x} - \cos^2{60^\circ}\cdot\sin^2{x} \right)</math><math>= \sin{x} \cdot \left( \sin{60^\circ}\cdot\cos{x} + \cos{60^\circ}\cdot\sin{x} \right)
\left( \sin{60^\circ}\cdot\cos{x} - \cos{60^\circ}\cdot\sin{x} \right)</math>
:<math>= \sin{x} \cdot \sin{(60^\circ+x)} \cdot \sin{(60^\circ-x)}</math>
が成り立つ。

:<math>x=10^\circ</math>を入力すると、<math>\sin{10^\circ} \cdot \sin{50^\circ} \cdot \sin{70^\circ} = \frac{\sin{30^\circ}}{4} = \frac{1}{8}</math>　となる。
:<math>x=15^\circ</math>を入力すると、<math>\sin{15^\circ} \cdot \sin{45^\circ} \cdot \sin{75^\circ} = \frac{\sin{45^\circ}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{8}</math>　から、<math>\sin{15^\circ} \cdot \sin{75^\circ} = \frac{1}{4}</math>　となる。
:<math>x=20^\circ</math>を入力すると、<math>\sin{20^\circ} \cdot \sin{40^\circ} \cdot \sin{80^\circ} = \frac{\sin{60^\circ}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}</math>　となる。
一般に、<math>\sin (n\theta) = 
2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}{ \sin\Bigl({\frac{k\pi}{n}}+\theta \Bigr) } </math> が成り立つ。

同様に、cosの3倍角の公式を加法定理で変形すると、<math>\frac{\cos{3x}}{4}= \cos{x} \cdot \left( \cos^2{x} - \frac{3}{4} \right)</math><math>= \cos{x} \cdot \cos{(60^\circ+x)} \cdot \cos{(60^\circ-x)}</math>が成り立つ。
:<math>x=10^\circ</math>を入力すると、<math>\cos{10^\circ} \cdot \cos{50^\circ} \cdot \cos{70^\circ} = \frac{\cos{30^\circ}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}</math>　となる。
:<math>x=15^\circ</math>を入力すると、<math>\cos{15^\circ} \cdot \cos{45^\circ} \cdot \cos{75^\circ} = \frac{\cos{45^\circ}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{8}</math>　から、<math>\cos{15^\circ} \cdot \cos{75^\circ} = \frac{1}{4}</math>　となる。
:<math>x=20^\circ</math>を入力すると、<math>\cos{20^\circ} \cdot \cos{40^\circ} \cdot \cos{80^\circ} = \frac{\cos{60^\circ}}{4} = \frac{1}{8}</math>　となる。

一般に、

<math>\cos 2n\theta = 
(-1)^n 2^{2n-1}\prod_{k=0}^{2n-1}{ \cos\Bigl({\frac{2k+1}{4n}}\pi+\theta \Bigr) } </math>

<math>\cos (2n+1)\theta = 
(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}{ \cos\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}+\theta \Bigr) } </math> 

が成り立つ。

tanでは、
: <math>\tan{3x} = \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}} = \frac{ \sin{x} \cdot \sin{(60^\circ+x)} \cdot \sin{(60^\circ-x)}}{ \cos{x} \cdot \cos{(60^\circ+x)} \cdot \cos{(60^\circ-x)}}= \tan{x}\cdot\tan(60^\circ+x)\cdot\tan(60^\circ-x)</math>
が成り立つ。
: <math>x=10^\circ</math>を入力すると、<math>\tan 30^\circ=\tan 10^\circ\cdot\tan 70^\circ\cdot\tan 50^\circ</math>　から、<math>\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ=\tan 80^\circ</math>　が成り立つのが分かる。

同様に、tanの5倍角・7倍角の公式から、
: <math>\tan{5x} =\tan{x}
\cdot\tan\left(\frac{180^\circ}{5}+x \right)
\cdot\tan\left(\frac{180^\circ}{5}-x \right)
\cdot\tan\left(\frac{2\cdot180^\circ}{5}+x \right)
\cdot\tan\left(\frac{2\cdot180^\circ}{5}-x \right)</math>
: <math>\tan{7x} = \tan{x}
\cdot\tan\left(\frac{180^\circ}{7}+x\right)
\cdot\tan\left(\frac{180^\circ}{7}-x \right)
\cdot\tan\left(\frac{2\cdot180^\circ}{7}+x \right)
\cdot\tan\left(\frac{2\cdot180^\circ}{7}-x \right)
\cdot\tan\left(\frac{3\cdot180^\circ}{7}+x\right)
\cdot\tan\left(\frac{3\cdot180^\circ}{7}-x \right)</math>
が成り立つ。

一般には、２項係数を使用したtanのｎ倍角の公式で

<math> \tan^2{\theta}=x</math>とおくと、

<math>\tan (2n+1)\theta
= \frac
{ \sum_{k=0}^n \biggl({(-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} \tan^{2k+1} \theta}\biggr)}
{ \sum_{k=0}^n \biggl({(-1)^k \binom{2n+1}{2k} \tan^{2k} \theta}\biggr)}
= \tan\theta\cdot\frac
{ \sum_{k=0}^n {\biggl((-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} x^k \biggr)}}
{ \sum_{k=0}^n {\biggl((-1)^k \binom{2n+1}{2k} x^k \biggr)} }
</math>

となる。ここで

<math>\tan (2n+1)\theta = 0</math>

が成り立つのは、

<math>\theta = 0,\pm \frac{\pi}{2n+1},\pm \frac{2\pi}{2n+1},\cdot\cdot\cdot,\pm \frac{n\pi}{2n+1}</math>

の場合なので、

<math>x = \tan^2\Bigl( \frac{\pi}{2n+1} \Bigr),\tan^2\Bigl( \frac{2\pi}{2n+1} \Bigr),\cdot\cdot\cdot,\tan^2\Bigl( \frac{n\pi}{2n+1} \Bigr)</math>

のとき、

<math>{ \sum_{k=0}^{n}\biggl({(-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} x^k }}\biggr)=0</math> 

が成り立つ。また分子と分母で２項係数が逆順になるため、

<math>\tan (2n+1)\theta
= \tan\theta\cdot \frac
{ \sum_{k=0}^{n} \biggl((-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} x^k \biggr)}
{ \sum_{k=0}^{n} \biggl((-1)^k \binom{2n+1}{2k} x^k \biggr)}
= \tan\theta\cdot \frac
{ \prod_{k=1}^{n} \Bigl( \tan^2\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr)-x\Bigr) }
{ \prod_{k=1}^{n} \Bigl( 1-\tan^2\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr) x\Bigr) }</math><math>= \tan\theta\cdot
\frac{ \prod_{k=1}^{n}{\Bigl( \tan^2\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr)-\tan^2 \theta\Bigr) }}{\prod_{k=1}^{n} \Bigl(1-\tan^2\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr) \tan^{2} \theta\Bigr) }</math>

<math>= \tan\theta\cdot
\frac{
\prod_{k=1}^{n}{\Bigl( \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr)+\tan \theta\Bigr) }
\cdot
\prod_{k=1}^{n}{\Bigl( \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr)-\tan \theta\Bigr) }
}
{
{\prod_{k=1}^{n} \Bigl(1-\tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr) \tan \theta\Bigr) 
\cdot
\prod_{k=1}^{n} \Bigl(1+\tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}\Bigr) \tan \theta\Bigr)
}
} </math><math>= \tan\theta\cdot
{
\prod_{k=1}^{n}{\Biggl( \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}+\theta \Bigr)\Biggr) }
\cdot
\prod_{k=1}^{n}{\Biggl( \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}-\theta \Bigr)\Biggr) }
} </math>

<math>= \tan\theta
\cdot{ 
\prod_{k=1}^{n}{\Biggl( \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}+\theta \Bigr)\Biggr) }
\cdot
\prod_{k=n+1}^{2n}{\Biggl( -\tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}+\theta \Bigr)\Biggr) }
} </math>

と変形でき、下記の式が成り立つ。

<math>\tan (2n+1)\theta = 
(-1)^n\prod_{k=0}^{2n}{ \tan\Bigl({\frac{k\pi}{2n+1}}+\theta \Bigr) } </math>　

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角関数]]
* [[ピタゴラスの定理]]
* [[正弦定理]]
* [[余弦定理]]
* [[正接定理]]

== 外部リンク ==
{{commonscat|Trigonometric identities}}

<!-- ==References== -->
<!-- *{{Cite book | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972 | postscript=}} -->

<!-- ==External links== -->
<!-- *[http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html Csc and Sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html Tan].
*[http://oscience.info/mathematics/basic-trigonometric-formulae/ Basic trigonometric formulas] -->

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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角法]]
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[[Category:数学の一覧]]