不変面のソースを表示

[[ファイル:Ecliptic and invariable plane.svg|thumb|不変面と[[黄道]]の関係を表す概念図。]]
'''不変面'''{{R|jglobal}}（ふへんめん、{{Lang-en-short|invariable plane}}）とは、孤立した[[質点]]系の全[[角運動量]][[空間ベクトル|ベクトル]]に垂直な平面である{{R|moa13}}。特に、[[天文学]]においては[[太陽系]]などの[[惑星系]]の[[天体力学]]の計算を行う際に、基準面として用いられる{{R|mitton94}}。太陽系においては、角運動量の殆どを占める軌道角運動量の99.69%以上が、[[木星]]、[[土星]]、[[天王星]]、[[海王星]]の4つの巨大[[惑星]]の寄与によるものである{{R|ss12}}。太陽系の不変面は、[[黄道]]面に対して約1.58[[度 (角度)|&deg;]]傾いており、木星軌道と土星軌道の間に収まっているが、太陽系に存在するありとあらゆる[[天体]]の[[質量]]と運動がわかっているわけではないので、不変面の正確な位置を決定することはできていない{{R|oda2}}。

== 経緯 ==
太陽系の天体力学を扱うに当たっては、一般に黄道面が基準とされていたが、これにはそうすべきという[[物理学]]的な根拠がない{{R|ss12}}。これに対し、[[フランス]]の[[数学者]]・[[天文学者]][[ピエール＝シモン・ラプラス]]は、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直で、太陽系の[[重心]]を通る[[平面]]が一意に決められることを発見し、これを「不変面」と定義し導入した{{R|laplace1878|see}}。系に外力が働かない場合は、全角運動量ベクトルは[[時間]]・[[空間]]に対し常に一定となるので、不変面は文字通り不変となる{{R|burkhardt82}}。不変面は、決定することができれば、恒久的で自然な系の基準面となり得る{{R|ss12}}。

ラプラス以降、何人かの天文学者が太陽系の不変面を求めてきた。その間に、海王星、[[冥王星]]などが発見され、更に[[宇宙探査機|探査機]]などの観測成果によって、太陽系内天体の質量と運動を計算する精度は大きく向上し、理論的な概念だった不変面が、真の不変面に限りなく近いものを求められるようになっている{{R|see|burkhardt82}}。

{| class="wikitable"
|+ 過去の不変面の導出例
! 年 !! 計算者 !! 黄道面に対する傾斜角 (&deg;) !! [[昇交点黄経]] (&deg;) !! 備考
|-
| rowspan="2" | 1802 || rowspan="2" | ラプラス{{R|laplace1802}} || 1.5919 || 102.9581 || 1750.0[[分点]]
|-
| 1.5919 || 102.9542 || 1750.0分点<br />{{Small|但し惑星は1950.0}}
|-
| rowspan="2" | 1834 || rowspan="2" | {{仮リンク|フィリップ・ギュスターヴ・ル・ドゥルセ|en|Philippe Gustave le Doulcet, Comte de Pontécoulant |label=ポンテクーラン}}{{R|pontecoulant}} || 1.5711 || 103.1458 || 1800.0分点
|-
| 1.5708 || 103.1472 || 1800.0分点<br />{{Small|但し惑星は2000.0}}
|-
| 1872 || {{仮リンク|ジョン・ネルソン・ストックウェル|de|John Nelson Stockwell|label=ストックウェル}}{{R|see}} || 1.5788716 || 106.235000 || 1850.0分点
|-
| 1903 || [[トーマス・シー|シー]]{{R|see}} || 1.5854847 || 106.1463022 || 1850.0分点
|-
| 1920 || [[ロバート・イネス|イネス]]{{R|innes}} || 1.5831 || 106.5836 || 1900.0分点
|-
| 1955 || [[ジェラルド・クレメンス|クレメンス]]&amp;[[ディルク・ブラウワー|ブラウワー]]{{R|cb55}} || 1.6469<br />&plusmn; 0.0061 || 107.222<br />&plusmn; 0.035 || 1950.0分点
|-
| rowspan="2" | 1982 || rowspan="2" | ブルクハルト{{R|burkhardt82}} || 1.589706 || 107.12736 || 1950.0分点
|-
| 1.587183 || 107.60856 || [[J2000.0|2000.0分点]]
|-
| 2012 || Souami &amp; Souchay{{R|ss12}} || 1.57869 || 107.5822 || 2000.0分点
|}

== 性質 ==
=== 定義 ===
孤立した（外力が及ばない）質点系における不変面は、質点の全角運動力ベクトルに垂直で、かつ系の重心を通る平面と定義される。外力が働かない限り、全角運動量ベクトルは時間に対しても空間に対しても一定であるので、「不変」面と呼ばれる。不変面は、惑星の[[摂動]]によって時間と共に変化する黄道面と比べ、単純な[[幾何学]]的特性に従い、孤立系の[[力学]]における必然的な帰結として導かれるもので、より自然で理に適った天体力学の基準面となる{{R|ss12}}。不変面は、ラプラスが定義したことにちなんで「ラプラス面」と呼ばれる場合もあるが、一般的に「{{仮リンク|ラプラス面|en|Laplace plane}}」といえば、[[衛星]]などの[[歳差]]運動の軸に垂直な平面のことであり、両者を混同すべきではない{{R|ttn09}}。

=== 定式化 ===
[[ニュートン力学]]の下では、質点が<math>N</math>個の質点系における全角運動量ベクトルは、
: <math>\vec L_{tot} = \sum_{j=1}^N m_j \vec r_j \times \dot{\vec r}_j</math>
と表される。ここで、<math>m_j</math>、<math>\vec r_j</math>、<math>\dot{\vec r}_j</math>はそれぞれ''j''番目の質点の、質量、系の重心を原点とした[[位置]]ベクトル、系の重心を原点とした[[速度]]ベクトル、を表す。これに、[[相対性理論|相対論]]的効果を加味すると、質量の<math>m_j</math>は、
: <math>m_j^* = m_j \cdot \left [ 1 + \frac{\dot{\vec r}^2_j}{2c^2} - \frac{1}{2c^2}\left (\sum_{k \neq j} \frac{Gm_k}{|\vec r_k - \vec r_j|} \right ) \right ]</math>
で置き換えられる。ここで、<math>c</math>は[[真空]]中の[[光速]]、<math>G</math>は[[重力定数]]である{{R|burkhardt82|ss12}}。

=== 太陽系の例 ===
太陽系において、全角運動量に対する各惑星の寄与は、木星が最も大きく61.368%から61.515%。次いで土星が24.925%から24.957%、海王星が7.994%、天王星が5.406%から5.407%となっている{{R|ss12}}。ただし、これらは太陽系の重心を中心とした[[公転]]運動だけを考慮した、軌道角運動量における内訳である。実際には、全角運動量といった場合には、天体の[[自転]]による角運動量、衛星の公転による角運動量も含まれる。特に、圧倒的な質量を持つ太陽の自転による回転角運動量はそれなりに大きく、全角運動量に対しおよそ1%程度の寄与があるとみられる。しかし、太陽内部の構造と[[対流]]などの運動の不定性と、太陽の自転の[[差動回転]]から、誤差は寄与以上に大きく、精密な計算にはとても用いることができない。また、太陽以外の天体の自転や、衛星の公転は、惑星の公転に比べたら影響は非常に小さい。そのため、これらは全て無視し、公転軌道角運動量だけで計算するのが、実用的な不変面の求め方である{{R|owen90|owen91}}。

全ての惑星の公転軌道面は、惑星間の重力の影響による摂動で、不変面に対して時間変化を示す{{R|fitzpatrick}}。[[地球]]の場合、およそ10万年の周期で振動しており、不変面に対する[[軌道傾斜角]]は0&deg;から3&deg;まで変化する{{R|mm97|fitzpatrick}}。木星の場合は、不変面に対する軌道傾斜角は14[[分 (角度)|']]から29'まで変化する{{R|fitzpatrick}}。

{{惑星の軌道傾斜角および自転軸傾斜角}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}{{Reflist |colwidth=30em |refs=
<ref name="jglobal">{{Citation |和書 |title=学術用語集 天文学編 |edition=増訂 |url=https://jglobal.jst.go.jp/detail?JGLOBAL_ID=201606016799031898 }}</ref>
<ref name="moa13">{{Citation |和書 |editor=福島登志夫 |date=2009-01-15 |title=天体の位置と運動 |series=シリーズ現代の天文学 |volume=13 |pages=181-183 |publisher=[[日本評論社]] |isbn=978-4-535-60733-0 }}</ref>
<ref name="mitton94">{{Citation |和書 |author=ジャクリーン・ミットン |others=【翻訳・監修】[[北村正利]]・木村直人・黒星瑩一・佐藤勲・白尾元理・[[長沢工]]・山越幸江・山田陽志郎 |title=天文小事典 |page=268 |publisher=[[地人書館]] |date=1994-07-01 |isbn=4-8052-0464-8 }}</ref>
<ref name="ss12">{{Citation |last1=Souami |first1=D. |last2=Souchay |first2=J. |date=2012-07 |title=The solar system's invariable plane |journal=[[アストロノミー・アンド・アストロフィジックス|Astronomy &amp; Astrophysics]] |volume=543 |page=A133 |doi=10.1051/0004-6361/201219011 |bibcode=2012A&A...543A.133S }}</ref>
<ref name="oda2">{{Citation |last=Ridpath |first=Ian |author-link=イアン・リドパス |title=A Dictionary of Astronomy |date=2012 |edition=2 rev. |publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] |isbn=9780199609055 }}</ref>
<ref name="laplace1878">{{Citation |last=Laplace |first=Pierre-Simon de |author-link=ピエール＝シモン・ラプラス |date=1878 |title=Oeuvres complètes de Laplace |volume=11 |pages=548-553 |publisher=Gauthier-Villars et Fils |place=[[パリ|Paris]] |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77599c/f553.image }}</ref>
<ref name="see">{{Citation |last=See |first=T. J. J. |author-link=トーマス・シー |date=1904-01 |title=On the Degree of Accuracy Attainable in Determining the Position of Laplace's Invariable Plane of the Planetary System |journal=[[アストロノミシェ・ナハリヒテン|Astronomische Nachrichten]] |volume=164 |issue=11 |pages=161-176 |doi=10.1002/asna.19031641102 |bibcode=1904AN....164..161S }}</ref>
<ref name="burkhardt82">{{Citation |last=Burkhardt |first=G. |date=1982-02 |title= |journal=Astronomy &amp; Astrophysics |volume=106 |issue=1 |pages=133-136 |bibcode=1982A&A...106..133B }}</ref>
<ref name="laplace1802">{{Citation |last=Laplace |first=P. S. |date=1802 |title=Traité de mécanique céleste (t. 3) |pages=162-163 |publisher=Chez J.B.M. Duprat |place=Paris |url=https://www.kyoto-su.ac.jp/lib/kichosyo/laplace/pages/00524333/00524333_095.html }}</ref>
<ref name="pontecoulant">{{Citation |last=Pontécoulant |first=Gustave de |date=1834 |chapter=Formation des Tables astronomiques par la comparaison des observations et de la théorie. Détermination du plan invariable. Conclusion de la théorie des inégalités planétaires |title=Théorie analytique du système du monde |volume=3 |pages=521-537 |publisher=Mallet-Bachelier |place=Paris |url=https://books.google.co.jp/books?id=e0crAAAAcAAJ }}</ref>
<ref name="innes">{{Citation |last=Innes |first=R. T. A. |author-link=ロバート・イネス |date=1920-07 |title=The Invariable Plane of the Solar System |journal=Circular of the Union Observatory Johannesburg |volume=50 |page=72 |bibcode=1920CiUO...50...72I }}</ref>
<ref name="cb55">{{Citation |last1=Clemence |first1=G. M. |author1-link=ジェラルド・クレメンス |last2=Brouwer |first2=Dirk |author2-link=ディルク・ブラウワー |date=1955-05 |title=The accuracy of the coordinates of the five outer planets and the invariable plane |journal=[[アストロノミカルジャーナル|Astronomical Journal]] |volume=60 |pages=118-125 |doi=10.1086/107172 |bibcode=1955AJ.....60..118C }}</ref>
<ref name="ttn09">{{Citation |last1=Tremaine |first1=Scott |last2=Touma |first2=Jihad |last3=Namouni |first3=Fathi |date=2009-03 |title=Satellite Dynamics on the Laplace Surface |journal=Astronomical Journal |volume=137 |issue=3 |pages=3706-3717 |doi=10.1088/0004-6256/137/3/3706 |bibcode=2009AJ....137.3706T }}</ref>
<ref name="owen90">{{Citation |last=Owen |first=William Mann, Jr. |date=1990 |title=A Theory of the Earth's Precession Relative to the Invariable Plane of the Solar System ([[Ph.D.]] thesis) |pages=20-45 |publisher=[[フロリダ大学|University of Florida]] |bibcode=1990PhDT.........3O }}</ref>
<ref name="owen91">{{Citation |last=Owen |first=William Mann, Jr. |date=1991 |title=Precession Theory Using the Invariable Plane of the Solar System |journal=[[国際天文学連合|IAU]] Colloquium |volume=127 |pages=323-326 |doi=10.1017/S0252921100064113 |bibcode=1991resy.coll..323O }}</ref>
<ref name="fitzpatrick">{{Citation |last=Fitzpatrick |first=Richard |date=2016-03-31 |title=Introduction to Celestial Mechanics |publisher=[[テキサス大学オースティン校|University of Texas at Austin]] |url=http://farside.ph.utexas.edu/teaching/celestial/Celestialhtml/Celestialhtml.html }}</ref>
<ref name="mm97">{{Citation |last1=Muller |first1=Richard A. |last2=MacDonald |first2=Gordon J. |date=1997-08 |title=Spectrum of 100-Kyr Glacial Cycle: Orbital Inclination, not Eccentricity |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=94 |issue=16 |pages=8329-8334 |doi=10.1073/pnas.94.16.8329 |bibcode=1997PNAS...94.8329M }}</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{Citation |和書 |last=鈴木 |first=敬信 |date=1991-09-10 |title=天文学辞典 |page=584 |publisher=地人書館 |isbn=4-8052-0393-5 }}
* {{Citation |last=安田 |first=春雄 |date=1968-07 |title=星の位置を測る |journal=天文月報 |volume=61 |issue=7 |pages=170-173 |format=PDF |url=https://www.asj.or.jp/geppou/archive_open/1968/pdf/19680703.pdf }}

== 関連項目 ==
* [[国際天文基準座標系]]
* [[暦表時]]
* [[10万年問題]]

{{DEFAULTSORT:ふへんめん}}
[[Category:太陽系]]
[[Category:天体力学]]
[[Category:惑星科学]]
[[Category:天文学に関する記事]]