不完全ガンマ関数のソースを表示

[[数学]]において、'''不完全ガンマ関数'''（ふかんぜんガンマかんすう、{{lang-en-short|incomplete gamma function}}）あるいは、'''[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の不完全ガンマ関数'''は、[[ガンマ関数]]の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の[[積分法|積分]]表示から、積分[[区間 (数学)|区間]]の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を[[変数 (数学)|変数]]に置き換えたものとして定義される。

== 定義 ==
不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,&infin;]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の[[実数]] ''x'' と、 [[実部]]が正の[[複素数]] ''a'' に対し

;'''第1種不完全ガンマ関数''' <math>\gamma(a,x)</math>
:<math> \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!</math>
;'''第2種不完全ガンマ関数''' <math>\Gamma(a,x)</math>
:<math> \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!</math>

== 性質 ==
ガンマ関数の定義は
:<math> \Gamma(a) = \int_0^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt</math>
であるから、

:<math> \gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)</math>
となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に[[部分積分]]を用いることで
:<math>\begin{align}
\gamma(a+1,x) &= a \gamma(a,x) - x^a e^{-x} \\
\Gamma(a+1,x) &= a \Gamma(a,x) + x^a e^{-x}
\end{align}</math>
という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

:<math>\begin{align}
  \Gamma(a, 0) &= \Gamma(a) \\
  \gamma(a, x) &\to \Gamma(a) \quad (x \to \infty) \\
  \Gamma(0, x) &= -\operatorname{Ei}(-x) \quad \text{ for } x > 0 \\
  \Gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erfc} \left( \sqrt x \right) \\
  \gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erf}  \left( \sqrt x \right) \\
  \Gamma(1,x) &= e^{-x} \\
  \gamma(1,x) &= 1 - e^{-x}
\end{align}
</math>

ここで、
*Ei : [[指数積分]]
*erf : [[誤差関数]]
*erfc :[[誤差関数|相補誤差関数]]で、erfc(''x'') = 1 &minus; erf(''x'')
である。

==微分==
*<math> \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - \frac{x^{a-1}}{e^x}</math>

MeijerのG関数から<ref>K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/] </ref>:
:<math>T(m,a,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ a-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)</math>
:<math>T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (a-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{a-1+n}}{n! (-a-n)^{m-1} }</math> 時 <math>|z| < 1</math>
*<math>\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln x \Gamma (a,x) + x\,T(3,a,x) </math>
*<math>\frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 x \Gamma (a,x) + 2 x[\ln x\,T(3,a,x) + T(4,a,x) ]</math>
*<math>\frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m x \Gamma (a,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,a,x)</math> と <math>P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.</math>

== 出典 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]''. New York: Dover, 1972. ''(See Chapter 6.)''
* G. Arfken and H. Weber. ''Mathematical Methods for Physicists''. Harcourt/Academic Press, 2000. ''(See Chapter 10.)''
* W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. ''Numerical Recipes in C''. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. ''(See Section 6.2.)''

== 関連項目 ==
*[[関数一覧]]
*[[ガンマ関数]]
*[[ゼータ関数]]
*[[ベータ関数]]
*[[階乗]]
*[[特殊関数]]
*[[複素解析]]

== 外部リンク ==
* {{PDFlink|[http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf ガンマ関数とベータ関数]}} {{ja icon}} {{リンク切れ|date=2023-03}}

{{DEFAULTSORT:ふかんせんかんまかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]