不定和分のソースを表示

[[数学]]における'''不定和分'''（ふていわぶん、{{lang-en-short|''indefinite sum''}}）{{math|&sum;{{sub|''x''}}}} または'''逆差分'''（ぎゃくさぶん、{{lang-en-short|''antidifference''}}; 反差分）{{math|&Delta;{{sup|&minus;1}}}} <ref>{{PlanetMath|urlname=IndefiniteSum|title=Indefinite Sum}}</ref><ref>[http://hostel6.ru/books/_Papers/Computer_algebra/Summation/Man.%20Closed%20forms%20for%20symbolic%20summation.%20JSC%201993%20(22s).pdf On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376]</ref><ref>"If ''Y'' is a function whose first difference is the function ''y'', then ''Y'' is called an indefinite sum of ''y'' and denoted Δ<sup>−1</sup>''y''" [https://books.google.co.uk/books?id=5rFOeE0zvY4C&pg=PA41&dq=%22indefinite+sum%22&hl=en ''Introduction to Difference Equations''], Samuel Goldberg</ref> は、[[微分]]に対する[[不定積分]]（反微分）の[[離散化|離散版]]で、[[前進差分]] {{math|&Delta;}} の逆演算となる[[線型作用素]]である。<ref group="注">一つのパラメータ {{mvar|h}} を導入して、歩み {{mvar|h}} の差分 {{math|&Delta;{{sub|''h''}}&thinsp;''f''(''x'') :{{=}} ''f''(''x'' + ''h'') &minus; ''f''(''x'')}} あるいは差分商 {{math|{{fraction|&Delta;{{sub|''h''}}''f''(''x'')|&Delta;{{sub|''h''}}''x''}} {{=}} {{fraction|''f''(''x''+''h'')&minus;''f''(''x'')|''h''}}}} の逆演算として、歩み {{mvar|h}} の不定和分 {{math|&sum;''f''(''x'')&Delta;{{sub|''h''}}''x''}} を考えることもある。{{math|''h'' {{=}} 1}} が本項における場合であり、また {{math|''h''→0}} の極限で {{math|{{fraction|&Delta;{{sub|''h''}}''f''(''x'')|&Delta;{{sub|''h''}}''x''}} → {{fraction|''df''(''x'')|''dx''}}}} は微分商、{{math|&sum;''f''(''x'')&Delta;{{sub|''h''}}''x'' → ∫''f''(''x'')''dx''}} は不定積分となる。</ref>

文献によっては "indefinite sum" の語を、例えば

:<math>\sum_{k=1}^n f(k)</math>

のような和において、上の限界となる値 (この例では {{mvar|n}}) をとくに固定せずに考える場合を指すのに用いることもある。この場合、この和を表す閉じた式 {{math|''F''(''n'')}} は函数方程式（[[畳み込み級数|畳み込み方程式]]） 
: <math>F(x+1) - F(x) = f(x+1)</math>
の解<ref>[http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/mkauers/publications/kauers05c.pdf Algorithms for Nonlinear Higher Order Difference Equations], Manuel Kauers</ref>であり、これは[[後退差分作用素]] {{math|&nabla;}} の逆である。この後退和分作用素と先の（前進）和分作用素との間には後述の和分差分学の基本定理を通じて関係がある。

== 定義 ==
与えられた函数 {{math|''f''(''x'')}} に対し {{math|''F''(''x'') :{{=}} &sum;{{sub|''x''}}&thinsp;''f''(''x'')}} が {{math|''f''(''x'')}} の'''不定和分'''であるとは、{{math|''F''(''x'')}} が[[函数方程式]]

: <math>\Delta \sum_x f(x) = f(x),</math>

つまりより直接的に述べれば

:<math>F(x+1) - F(x) = f(x)</math>

の解であることを総称して言う。函数 {{math|''F''(''x'')}} が与えられた {{math|''f''(''x'')}} に対するこの函数方程式の解ならば、周期 1 を持つ任意の[[周期函数]] {{math|''C''(''x'')}} に対して {{math|''f''(''x'') + ''C''(''x'')}} もまた同方程式の解である<ref group="注">従って特に、函数 ''f''(''x'') として定義域が[[整数]]全体となるようなもの、即ち[[数列]] {{math|(''a''{{sub|''n''}})}} を取るならば、周期 1 の周期函数とは定数列に他ならない。</ref>から、各不定和分とは実際にはそのような（互いに周期 1 函数だけ異なる）函数の族を表すものと理解される。ただし、解のうちで自身の{{仮リンク|ニュートン級数|en|Finite difference#Newton's series}}展開と一致するようなものは任意定数 {{mvar|C}} （和分定数）を加える[[違いを除いて]]一意に定まる。

== 注意 ==
和分定数 {{mvar|C}} の選び方について、
: <math>F(x)=\sum_x f(x)+C</math>
と置くとき、

: <math>\int_0^1 F(x) dx=0 </math>
あるいは
: <math>\int_1^2 F(x) dx=0 </math>

を満たすように {{mvar|C}} を固定することがしばしばある。ラマヌジャン和を用いて書けば、それぞれ

: <math>\sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-f(0)-F(0)</math>
あるいは
: <math>\sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-F(1)</math>

である<ref>Bruce C. Berndt, [http://www.comms.scitech.susx.ac.uk/fft/math/RamanujanNotebooks1.pdf Ramanujan's Notebooks] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061012064851/http://www.comms.scitech.susx.ac.uk/fft/math/RamanujanNotebooks1.pdf |date=2006年10月12日 }}, ''Ramanujan's Theory of Divergent Series'', Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133&ndash;149.</ref><ref>Éric Delabaere, [http://algo.inria.fr/seminars/sem01-02/delabaere2.pdf Ramanujan's Summation], ''Algorithms Seminar 2001–2002'', F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.</ref>。

== 性質 ==
=== 和分差分学の基本定理 ===
[[微分積分学の基本定理]]の離散版として、不定和分を用いて定和分の計算ができる<ref>"Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1</ref>。即ち
 
:<math>\sum_{k=a}^b f(k)=\Delta^{-1}f(b+1)-\Delta^{-1}f(a)</math>

が成り立つ。

=== 部分和分法 ===
{{main|[[部分和分]]}}

[[部分積分|部分積分法]]の離散版として、以下のように部分和分の公式が成り立つ。

; 不定和分に関する部分和分
:<math>\sum_x f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum_x (g(x)+\Delta g(x)) \Delta f(x),</math>
:<math>\sum_x f(x)\Delta g(x)+\sum_x g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum_x \Delta f(x)\Delta g(x).</math>
; 定和分に関する部分和分
: <math>\sum_{i=a}^b f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum_{i=a}^b g(i+1)\Delta f(i).</math>

=== 周期法則 ===
[[周期函数]] {{math|''f''(''x'')}} の周期が {{mvar|T}} に対し、

: <math>\sum _x f(Tx)=x f(Tx) + C</math>

が成り立つ。また {{mvar|T}} が函数 {{math|''f''(''x'')}} の反周期、即ち {{math|''f''(''x'' + ''T'') {{=}} &minus;''f''(''x'')}} のとき、

:<math>\sum _x f(Tx)=-\frac12 f(Tx) + C</math>

が成り立つ。

=== ラプラス和公式 ===

:<math>\sum_x f(x)=\int_0^x f(t) dt +\sum_{k=1}^\infty \frac{c_k\Delta^{k-1}f(x)}{k!} + C </math>

ただし、
: <math>c_k=\int_0^1 \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}dx</math>
は{{仮リンク|第二種ベルヌイ数|en|Bernoulli numbers of the second kind}}<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumberoftheSecondKind.html Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld]</ref>である。

=== ニュートンの公式 ===

: <math>\sum_x f(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Delta^{k-1}f(x)}{k!}(-x)_k+C</math>

ただし
: <math>(x)_k=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}</math>
は[[下降階乗冪]]である。

=== ファウルハーバーの公式 ===
{{seealso|ファウルハーバーの公式}}
: <math>\sum_x f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} B_n(x) + C.</math>

ただし、右辺が存在する場合に限る。

=== ミューラーの公式 ===
<math>\lim_{x\to{+\infty}}f(x)=0</math> のとき
: <math>\sum _x f(x)=\sum_{n=0}^\infty(f(n)-f(n+x))+ C</math>
が成り立つ<ref>[http://www.math.tu-berlin.de/~mueller/HowToAdd.pdf Markus Müller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to Produce Unusual Infinite Summations] (note that he uses a slightly alternative definition of fractional sum in his work, i.e. inverse to backwards difference, hence 1 as the lower limit in his formula)</ref>。

=== オイラー・マクローリンの公式 ===

:<math>\sum _x f(x)= \int_0^x f(t) dt - \frac12 f(x)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x) + C.</math>

== 例 ==
以下、いくつかの函数の不定和分を記す。初等函数の不定和分でも必ずしも初等函数で書けないことに注意。

=== 初等函数 ===
* <math>\sum_x a = ax + C,</math>
* <math>\sum_x x = \frac{x^2}{2}-\frac{x}{2} + C,</math>
* <math>\sum_x x^a = \frac{B_{a+1}(x)}{a+1} + C,\quad(a\notin \mathbb{Z}^-),</math>
*: ただし、{{math|''B''{{sub|''a''}}(''x'') {{=}} &minus;''a''&zeta;(&minus;''a''+1,''x'')}} は次数を実数に一般化した[[ベルヌイ多項式]].
* <math>\sum_x x^a = \frac{(-1)^{a-1}\psi^{(-a-1)}(x)}{\Gamma(-a)}+ C,\,a\in\mathbb{Z}^-</math>
*: ただし、{{math|&psi;{{sup|(''n'')}}(''x'')}} は[[ポリガンマ函数]].
* <math>\sum_x \frac1x = \psi(x) + C,</math>
*: ただし、{{math|&psi;(''x'')}} は[[ディガンマ函数]].
* <math>\sum_x a^x = \frac{a^x}{a-1} + C,</math>
*: 特に <math>\sum _x 2^x = 2^x + C.</math>
* <math>\sum_x \log_b x = \log_b \Gamma (x) + C,</math>
* <math>\sum_x \log_b ax = \log_b (a^{x-1}\Gamma (x)) + C.</math>

=== 三角函数・双曲線函数 ===

* <math>\sum_x \sinh ax = \frac{1}{2} \operatorname{csch} \left(\frac{a}{2}\right) \cosh \left(\frac{a}{2} - a x\right) + C,</math>
* <math>\sum_x \cosh ax = \frac{1}{2} \coth \left(\frac{a}{2}\right) \sinh ax -\frac{1}{2} \cosh ax + C,</math>
* <math>\sum_x \tanh ax = \frac1a \psi _{e^a}\left(x-\frac{i \pi }{2 a}\right)+\frac1a \psi _{e^a}\left(x+\frac{i \pi }{2 a}\right)-x + C,</math>
*: ただし、{{math|&psi;{{sub|''q''}}(''x'')}} は[[q-類似| ''q''-ディガンマ函数]].
* <math>\sum_x \sin ax = -\frac{1}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \cos \left(\frac{a}{2}- a x \right) + C \quad(a\ne n \pi),</math>
* <math>\sum_x \cos ax = \frac{1}{2} \cot \left(\frac{a}{2}\right) \sin ax -\frac{1}{2} \cos ax + C \quad (a\ne n \pi),</math>
* <math>\sum_x \sin^2 ax = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2 a x) + C\quad (a\ne \frac{n\pi}2),</math>
* <math>\sum_x \cos^2 ax = \frac{x}{2}-\frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2 a x) + C\quad (a\ne \frac{n\pi}2),</math>
* <math>\sum_x \tan ax = i x-\frac1a \psi _{e^{2 i a}}\left(x-\frac{\pi }{2 a}\right) + C \quad (a \ne \frac{n\pi}2),</math>
*: ただし、{{math|&psi;{{sub|''q''}}(''x'')}} は[[q-類似| ''q''-ディガンマ函数]].
* <math>\begin{align}
    \sum_x \tan x &= ix-\psi _{e^{2 i}}\left(x+\frac{\pi }{2}\right) + C \\
 &= -\sum_{k=1}^{\infty } \left(\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1-z\right)+\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+z\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}\right)\right) + C
\end{align},</math>
* <math>\sum_x \cot ax =-i x-\frac{i \psi _{e^{2 i a}}(x)}{a} + C \quad (a\ne \frac{n\pi}2),</math>
* <math>\sum_x \operatorname{artanh}\, a x =\frac{1}{2} \ln \left(\frac{(-1)^x \Gamma \left(-\frac{1}{a}\right) \Gamma \left(x+\frac{1}{a}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{a}\right) \Gamma \left(x-\frac{1}{a}\right)}\right) + C,</math>
* <math>\sum_x \arctan a x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{(-1)^x \Gamma (\frac{-i}a) \Gamma (x+\frac ia)}{\Gamma (\frac ia) \Gamma (x-\frac ia)}\right)+C.</math>

=== 特殊函数 ===
* <math>\sum _x \psi(x)=(x-1) \psi(x)-x+C,</math>
* <math>\sum _x \Gamma(x)=(-1)^{x+1}\Gamma(x)\frac{\Gamma(1-x,-1)}e+C,</math>
*: ただし、{{math|&Gamma;(''s'',''x'')}} は[[不完全ガンマ函数]].
* <math>\sum _x (x)_a = \frac{(x)_{a+1}}{a+1}+C,</math>
*: ただし、{{math|(''x''){{sub|''a''}}}} は[[下降階乗冪]].
* <math>\sum _x \operatorname{sexp}_a (x) = \ln_a \frac{(\operatorname{sexp}_a (x))'}{(\ln a)^x} + C.</math>
: (ただし、{{math|sexp}} は{{仮リンク|超指数函数|en|super-exponential function<!-- リダイレクト先の「[[:en:Tetration]]」は、[[:ja:テトレーション]] とリンク -->}})

== 関連項目 ==
* [[乗法的不定和分]] (Indefinite product)
* [[時間尺度微分積分学]]: 連続と離散の間を埋める時間尺度 (time-scale) での微分積分を考察する
* [[異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧]]
* [[離散フーリエ変換]]

== 注 ==
{{reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==
* "Difference Equations: An Introduction with Applications", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
* [http://www.math.tu-berlin.de/~mueller/HowToAdd.pdf Markus Müller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to Produce Unusual Infinite Summations]
* [https://arxiv.org/abs/math/0502109 Markus Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities]
* [http://www.springerlink.com/content/kj0jx24240756457/ S. P. Polyakov. Indefinite summation of rational functions with additional minimization of the summable part. Programmirovanie, 2008, Vol. 34, No. 2.]
* "Finite-Difference Equations And Simulations", Francis B. Hildebrand, [[:en:Prenctice-Hall|Prenctice-Hall]], 1968

{{DEFAULTSORT:ふていわふん}}
[[Category:離散解析学]]
[[Category:差分法]]
[[Category:線型作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]