不定和分

数学における不定和分（ふていわぶん、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math または逆差分（ぎゃくさぶん、テンプレート:Lang-en-short; 反差分）テンプレート:Math は、微分に対する不定積分（反微分）の離散版で、前進差分 テンプレート:Math の逆演算となる線型作用素である。

文献によっては "indefinite sum" の語を、例えば

$\sum _{k=1}^{n}f(k)$

のような和において、上の限界となる値 (この例では テンプレート:Mvar) をとくに固定せずに考える場合を指すのに用いることもある。この場合、この和を表す閉じた式 テンプレート:Math は函数方程式（畳み込み方程式）

$F(x+1)-F(x)=f(x+1)$

の解であり、これは後退差分作用素 テンプレート:Math の逆である。この後退和分作用素と先の（前進）和分作用素との間には後述の和分差分学の基本定理を通じて関係がある。

定義

与えられた函数 テンプレート:Math に対し テンプレート:Math が テンプレート:Math の不定和分であるとは、テンプレート:Math が函数方程式

$\mathrm{\Delta }\sum _{x}f(x)=f(x),$

つまりより直接的に述べれば

$F(x+1)-F(x)=f(x)$

の解であることを総称して言う。函数 テンプレート:Math が与えられた テンプレート:Math に対するこの函数方程式の解ならば、周期 1 を持つ任意の周期函数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math もまた同方程式の解であるから、各不定和分とは実際にはそのような（互いに周期 1 函数だけ異なる）函数の族を表すものと理解される。ただし、解のうちで自身のテンプレート:仮リンク展開と一致するようなものは任意定数 テンプレート:Mvar （和分定数）を加える違いを除いて一意に定まる。

注意

和分定数 テンプレート:Mvar の選び方について、

$F(x)=\sum _{x}f(x)+C$

と置くとき、

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}F(x)dx=0$

あるいは

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}F(x)dx=0$

を満たすように テンプレート:Mvar を固定することがしばしばある。ラマヌジャン和を用いて書けば、それぞれ

$\sum _{x\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(x)=-f(0)-F(0)$

あるいは

$\sum _{x\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(x)=-F(1)$

である。

性質

和分差分学の基本定理

微分積分学の基本定理の離散版として、不定和分を用いて定和分の計算ができる。即ち

$\sum _{k=a}^{b}f(k)={\mathrm{\Delta }}^{-1}f(b+1)-{\mathrm{\Delta }}^{-1}f(a)$

が成り立つ。

部分和分法

部分積分法の離散版として、以下のように部分和分の公式が成り立つ。

不定和分に関する部分和分

$\sum _{x}f(x)\mathrm{\Delta }g(x)=f(x)g(x)-\sum _x(g(x)+\mathrm{\Delta }g(x))\mathrm{\Delta }f(x),$

$\sum _{x}f(x)\mathrm{\Delta }g(x)+\sum _{x}g(x)\mathrm{\Delta }f(x)=f(x)g(x)-\sum _x\mathrm{\Delta }f(x)\mathrm{\Delta }g(x).$

定和分に関する部分和分

$\sum _{i=a}^{b}f(i)\mathrm{\Delta }g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\mathrm{\Delta }f(i).$

周期法則

周期函数 テンプレート:Math の周期が テンプレート:Mvar に対し、

$\sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C$

が成り立つ。また テンプレート:Mvar が函数 テンプレート:Math の反周期、即ち テンプレート:Math のとき、

$\sum _{x}f(Tx)=-\frac{1}{2}f(Tx)+C$

が成り立つ。

ラプラス和公式

$\sum _{x}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k{\mathrm{\Delta }}^{k-1}f(x)}{k!}+C$

ただし、

$c_k=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-k+1)}dx$

はテンプレート:仮リンクである。

ニュートンの公式

$\sum _{x}f(x)=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^{k-1}f(x)}{k!}(-x{)}_k+C$

ただし

$(x{)}_k=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-k+1)}$

は下降階乗冪である。

ファウルハーバーの公式

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n-1)}(0)}{n!}{B}_n(x)+C.$

ただし、右辺が存在する場合に限る。

ミューラーの公式

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$ のとき

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(f(n)-f(n+x))+C$

が成り立つ。

オイラー・マクローリンの公式

$\sum _{x}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)+C.$

例

以下、いくつかの函数の不定和分を記す。初等函数の不定和分でも必ずしも初等函数で書けないことに注意。

初等函数

• $\sum _{x}a=ax+C,$
• $\sum _{x}x=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+C,$
• $\sum _x{x}^a=\frac{B_{a+1}(x)}{a+1}+C,(a\notin {\mathbb{Z}}^{-}),$

  ただし、テンプレート:Math は次数を実数に一般化したベルヌイ多項式.

• $\sum _x{x}^a=\frac{(-1{)}^{a-1}{\psi }^{(-a-1)}(x)}{\mathrm{\Gamma }(-a)}+C,a\in {\mathbb{Z}}^{-}$

  ただし、テンプレート:Math はポリガンマ函数.

• $\sum _x\frac{1}{x}=\psi (x)+C,$

  ただし、テンプレート:Math はディガンマ函数.

• $\sum _x{a}^x=\frac{a^x}{a-1}+C,$

  特に $\sum _x{2}^x=2^x+C.$

• $\sum _x{\log }_{b}x={\log }_b\mathrm{\Gamma }(x)+C,$
• $\sum _x{\log }_{b}ax={\log }_b(a^{x-1}\mathrm{\Gamma }(x))+C.$

三角函数・双曲線函数

• $\sum _x\sinh ax=\frac{1}{2}\mathrm{csch}\left(\frac{a}{2}\right)\cosh (\frac{a}{2}-ax)+C,$
• $\sum _x\cosh ax=\frac{1}{2}\coth \left(\frac{a}{2}\right)\sinh ax-\frac{1}{2}\cosh ax+C,$
• $\sum _x\tanh ax=\frac{1}{a}{\psi }_{e^a}(x-\frac{i\pi }{2a})+\frac{1}{a}{\psi }_{e^a}(x+\frac{i\pi }{2a})-x+C,$

  ただし、テンプレート:Math は q-ディガンマ函数.

• $\sum _x\sin ax=-\frac{1}{2}\csc \left(\frac{a}{2}\right)\cos (\frac{a}{2}-ax)+C(a\ne n\pi ),$
• $\sum _x\cos ax=\frac{1}{2}\cot \left(\frac{a}{2}\right)\sin ax-\frac{1}{2}\cos ax+C(a\ne n\pi ),$
• $\sum _x{\sin }^{2}ax=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\csc (a)\sin (a-2ax)+C(a\ne \frac{n\pi }{2}),$
• $\sum _x{\cos }^{2}ax=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\csc (a)\sin (a-2ax)+C(a\ne \frac{n\pi }{2}),$
• $\sum _x\tan ax=ix-\frac{1}{a}{\psi }_{e^{2ia}}(x-\frac{\pi }{2a})+C(a\ne \frac{n\pi }{2}),$

  ただし、テンプレート:Math は q-ディガンマ函数.

• $\begin{array}{cc}\sum _x\tan x& =ix-{\psi }_{e^{2i}}(x+\frac{\pi }{2})+C\\ & =-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+1-z)+\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+z)-\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+1)-\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}))+C\end{array},$
• $\sum _x\cot ax=-ix-\frac{i{\psi }_{e^{2ia}}(x)}{a}+C(a\ne \frac{n\pi }{2}),$
• $\sum _x\mathrm{artanh}ax=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{(-1{)}^x\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{a})\mathrm{\Gamma }(x+\frac{1}{a})}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{a}\right)\mathrm{\Gamma }(x-\frac{1}{a})}\right)+C,$
• $\sum _x\arctan ax=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{(-1{)}^x\mathrm{\Gamma }(\frac{-i}{a})\mathrm{\Gamma }(x+\frac{i}{a})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{i}{a})\mathrm{\Gamma }(x-\frac{i}{a})}\right)+C.$

特殊函数

• $\sum _x\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C,$
• $\sum _x\mathrm{\Gamma }(x)=(-1{)}^{x+1}\mathrm{\Gamma }(x)\frac{\mathrm{\Gamma }(1-x,-1)}{e}+C,$

  ただし、テンプレート:Math は不完全ガンマ函数.

• $\sum _x(x{)}_a=\frac{(x{)}_{a+1}}{a+1}+C,$

  ただし、テンプレート:Math は下降階乗冪.

• $\sum _x{\mathrm{sexp}}_a(x)={\ln }_a\frac{({\mathrm{sexp}}_a(x){)}^{\prime }}{(\ln a{)}^x}+C.$

(ただし、テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク)

関連項目

• 乗法的不定和分 (Indefinite product)
• 時間尺度微分積分学: 連続と離散の間を埋める時間尺度 (time-scale) での微分積分を考察する
• 異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧
• 離散フーリエ変換

関連文献

• "Difference Equations: An Introduction with Applications", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• Markus Müller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to Produce Unusual Infinite Summations
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities
• S. P. Polyakov. Indefinite summation of rational functions with additional minimization of the summable part. Programmirovanie, 2008, Vol. 34, No. 2.
• "Finite-Difference Equations And Simulations", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968