乗法的不定和分

数学における乗法的不定和分（じょうほうてきふていわぶん、テンプレート:Lang-en-short; 不定乗積）テンプレート:Math は、不定積分の離散版である不定和分の乗法版で、乗法的差分 テンプレート:Mvar;

$Q(f(x))=\frac{f(x+1)}{f(x)}$

の逆演算である。これはまた乗法的積分の離散版であり、離散乗法的積分 テンプレート:En と呼ぶものもある。

文献によっては、これと無関係ではないがやや異なる用法として、例えば

$\prod _{k=1}^{n}f(k)$

のような形の、上の限界となる数値を特に固定せずに考えた乗積に対して "indefinite product" の語を用いていることもあるので注意。

定義

函数 f(x) の乗法的不定和分 テンプレート:Math は、函数方程式

$Q(\prod _{x}f(x))=f(x),$

あるいはより明示的に

$\frac{F(x+1)}{F(x)}=f(x)$

の解として定義される。与えられた テンプレート:Math に対して テンプレート:Math がこの函数方程式の解となるならば、任意定数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Math もまたこの函数方程式の解になる。従って乗法的不定和分は実際には（互いに定数倍だけ異なる）函数の族を表しているものと理解される。

性質

基本性質

• $\prod _{x}f(x)g(x)=\prod _{x}f(x)\prod _{x}g(x),$
• $\prod _{x}f(x{)}^a={(\prod _{x}f(x))}^a,$
• $\prod _x{a}^{f(x)}=a^{\sum _{x}f(x)}.$

周期法則

周期函数 テンプレート:Math の周期 テンプレート:Mvar に対して

$\prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx{)}^{x-1}$

が成り立つ。

不定和分との関係

基本性質から明らかに、不定和分 テンプレート:Math の言葉を用いて

$\prod _{x}f(x)=\exp (\sum _x\ln f(x))$

と書くことができる。ここに テンプレート:Math は自然指数函数、テンプレート:Math は自然対数である。

例

幾つか基本的な函数に対する乗法的不定和分の例を挙げる。初等函数の乗法的不定和分が必ずしも初等函数とならないことに注意。以下、テンプレート:Math はガンマ函数とする。

初等函数

• $\prod _{x}a=C{a}^x,$
• $\prod _{x}x=C\mathrm{\Gamma }(x),$
• $\prod _{x}ax=C{a}^x\mathrm{\Gamma }(x),$
• $\prod _x\frac{x+1}{x}=Cx,$
• $\prod _x\frac{x+a}{x}=\frac{C\mathrm{\Gamma }(x+a)}{\mathrm{\Gamma }(x)},$
• $\prod _{x}x+a=C\mathrm{\Gamma }(x+a),$
• $\prod _{x}ax+b=C{a}^x\mathrm{\Gamma }(x+\frac{b}{a}),$
• $\prod _x{x}^2+1=C\mathrm{\Gamma }(x-i)\mathrm{\Gamma }(x+i),$
• $\prod _{x}a{x}^2+bx=C{a}^x\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(x+\frac{b}{a}),$
• $\prod _{x}x+\frac{1}{x}=\frac{C\mathrm{\Gamma }(x-i)\mathrm{\Gamma }(x+i)}{\mathrm{\Gamma }(x)},$
• $\prod _x{x}^a=C\mathrm{\Gamma }(x{)}^a,$
• $\prod _x{a}^x=C{a}^{\frac{x}{2}(x-1)},$
• $\prod _x{a}^{\frac{1}{x}}=C{a}^{\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}},$
• $\prod _x{x}^x=C{e}^{{\zeta }^{\prime }(-1,x)-{\zeta }^{\prime }(-1)}=C{e}^{{\psi }^{(-2)}(x)+\frac{x^2-x}{2}-\frac{x}{2}\ln (2\pi )}=C𝐾(x).$

  (ただし、テンプレート:Math はK函数である)

特殊函数

• $\prod _x\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{C\mathrm{\Gamma }(x{)}^{x-1}}{𝐾(x)}=C\mathrm{\Gamma }(x{)}^{x-1}{e}^{\frac{x}{2}\ln (2\pi )-\frac{x^2-x}{2}-{\psi }^{(-2)}(x)}=C𝐺(x),$

  (ただし、テンプレート:Math はバーンズのG函数である)

• $\prod _x{\mathrm{sexp}}_a(x)=\frac{C({\mathrm{sexp}}_a(x){)}^{\prime }}{{\mathrm{sexp}}_a(x)(\ln a{)}^x}.$

  (ただし、テンプレート:Math は超指数函数である)

三角函数

• $\prod _x\csc x\sin (x+1)=C\sin x,$
• $\prod _x\sec x\cos (x+1)=C\cos x,$
• $\prod _x\cot x\tan (x+1)=C\tan x,$
• $\prod _x\tan x\cot (x+1)=C\cot x.$

関連項目

• 不定和分
• 乗法的積分
• テンプレート:仮リンク
• 異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧

関連文献

• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html -Indefinite products with Mathematica
• http://www.math.rwth-aachen.de/MapleAnswers/660.html - bug in Maple V to Maple 8 handling of indefinite product
• Markus Müller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to Produce Unusual Infinite Summations
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities