中心つき四面体数のソースを表示

'''中心つき四面体数'''（ちゅうしんつきしめんたいすう、{{lang-en-short|centered tetrahedral number}}）は、[[四面体]]についての中心つき[[図形数]]。非負整数 ''n'' に対して、''n'' 番目の中心つき四面体数は
:<math>C_n=\frac{1}{3}(2n+1)(n^2+n+3)</math>
で与えられる<ref>{{cite book | last1 = Deza | first1 = E. | last2 = Deza | first2 = M. | title = Figurate Numbers | publisher = World Scientific Publishing | year = 2012 | location = Singapore | pages = 126–128 | url = https://books.google.com/books?id=cDxYdstLPz4C&q=%22centered+tetrahedron+numbers%22&pg=PA450 | isbn = 978-981-4355-48-3}}</ref>。最初のいくつかの中心つき四面体数は
:1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... （{{OEIS|id=A005894}}）
である。

== 定義と公式 ==
まず、0番目は1点のみと見なす。すなわち ''C''<sub>0</sub> = 1 である。以下帰納的に、''n'' 番目の点の並びは ''n'' - 1 番目の点の周りに、四面体の面状に点を付け加えたものと見なす。付け加える点は、通常の[[三角錐数|四面体数]]
:<math>T_{n+1}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)</math>
の点の並びのうち、表面のみの部分である。''n'' = 1, 2, 3 に対しては全ての点が表面にあるが、''n'' &ge; 4 に対しては表面のみの点の個数は（内部の点を抜いて）
:<math>T_{n+1}-T_{n-3}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)-\frac{1}{6}(n-3)(n-2)(n-1)=2n^2+2</math>
となる。形式上、''n'' = 1, 2, 3 に対しても ''T''<sub>''n'' - 3</sub> = 0 となるので、全ての ''n'' &ge; 1 に対して
:<math>C_n=C_{n-1}+(2n^2+2)</math>
が成り立つ。よって、
:<math>C_n=C_0+\sum_{k=1}^n(2k^2+2)=\frac{1}{3}(2n+1)(n^2+n+3)</math>
である。

== 性質 ==
* 4つの連続した四面体数の和である<ref name="oeis">{{OEIS|id=A005894}}</ref>：
:<math>C_n=T_{n-2}+T_{n-1}+T_n+T_{n+1}</math>
ただし、''n'' = -2, -1, 0 に対しては ''T''<sub>''n''</sub> = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は[[二項係数]]で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば
:<math>C_n=\binom{n}{0}+4\binom{n}{1}+6\binom{n}{2}+4\binom{n}{3}</math>
が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 ''X'' = {1, 2, 3, ..., ''n'' + 4} とその特定の部分集合 ''Y'' = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる ''X'' の部分集合のうち、''Y'' と共通部分を持つものの個数が、''C''<sub>''n''</sub> に等しい<ref name="oeis" />。
* [[母関数]]は以下で与えられる<ref name="oeis" />：
:<math>\frac{(1+x)(1+x^2)}{(1-x)^4} \quad \left( =1+5x+15x^2+35x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty C_n x^n \right)</math>

== 脚注 ==
<references />
{{Classes of natural numbers}}
{{DEFAULTSORT:ちゆうしんつきしかくすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]
{{Math-stub}}